二次函数教案

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。【注意】和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．例:𝑦=(𝑚−2)𝑥𝑚2−𝑚是关于x的二次函数,则m=()A.-1B.2C.-1或2D.m不存在二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2yax的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．由此可知:a的绝对值越大，抛物线的开口越小2.2yaxc的性质：上加下减3.2yaxh的性质：左加右减4.2yaxhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的开口方顶点坐对称性质考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，例:已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：符号向标轴0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）⑵cbxaxy2沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）例:将一抛物线向下向右各平移2个单位得到抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2,则原抛物线的解析式是()A.𝑦=−(𝑥−2)2+2B.𝑦=−(𝑥+2)2+2C.𝑦=−(𝑥+2)2−2D.𝑦=−(𝑥−2)2−2四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22424bacbhkaa，．五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.例:已知二次函数𝑦=𝑥2+𝑥+()的图像如图,则下列说法:①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=-1;③当x=1时,y=2a④𝑚2+𝑚+(𝑚−).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4练习:（1）二次函数2yaxbxc的图像如图1，则点),(acbM在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个(1)(2)六.二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．2.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．例:如果二次函数𝑦=𝑥2+𝑥+的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程𝑥2+𝑥+=有两个不相等的实数根,请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m,n(mn)是关于x的方程−(x−a)(x−b)=的两根,且(ab),则a,b,m,n的大小关系是()A.mabnB.amnbC.ambnD.manb七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：例:已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．⑴当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．所以，c决定了抛物线与y轴交点的位置．从而我们就知道，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．例:如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（）练习:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①ab0；②2a+cO；③4a+cO；④2a-b+1O，其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D．4个答案：D二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk例:已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．所以根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．这两点间的距离2214bacABxxa.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：⑵求二次函数的图象与x轴的