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第26讲圆的基本性质1．主要概念：(1)圆：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆．________叫圆心，________叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫________，连接圆上任意两点的线段叫________，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的________．(3)圆心角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在______________，能够完全________的弧．1．主要概念：(1)圆：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆．________叫圆心，________叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫________，连接圆上任意两点的线段叫________，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的________．(3)圆心角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在______________，能够完全________的弧．1．主要概念：(1)圆：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆．________叫圆心，________叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫________，连接圆上任意两点的线段叫________，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的________．(3)圆心角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在______________，能够完全________的弧．1．主要概念：(1)圆：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆．________叫圆心，________叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫________，连接圆上任意两点的线段叫________，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的________．(3)圆心角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在______________，能够完全________的弧．1．主要概念：(1)圆：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆．________叫圆心，________叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫________，连接圆上任意两点的线段叫________，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的________．(3)圆心角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在________，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在______________，能够完全_______的弧．定点定点定长定长弧弦弦圆心圆上同圆或等圆中重合(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且__________________．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径__________，并且_______________________；②弦的垂直平分线__________，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．2．圆的有关性质：(1)圆的对称性：①圆是________图形，其对称轴是______________________．②圆是__________图形，对称中心是________．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径_________，并且_______________________．轴对称过圆心的任意一条直线中心对称圆心平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的经过圆心两条弧(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．②推论：在同圆或等圆中，如果两个___________、________、________、___________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_____．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．②半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．一半相等直角直径(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上________；②点P在圆内________；③点P在圆外________．d＝rdrdr(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．中垂线3．相关辅助线：一个防范对垂径定理的理解，同学们往往把定理所需要的条件遗漏，如容易漏掉垂直于弦的直径或者垂直，而这两个条件必须同时具备．一种思想分类思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．一个防范对垂径定理的理解，同学们往往把定理所需要的条件遗漏，如容易漏掉垂直于弦的直径或者垂直，而这两个条件必须同时具备．一种思想分类思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．两条辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．1.（2012·台州）如图，点A，B，C是⊙O上三点，∠AOC＝130°，则∠ABC等于（）A.50°B.60°C.65°D.70°C2.（2012·湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A.45°B.85°C.90°D.95°B3.（2013·丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A.4B.5C.6D.8C4.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为（）B5.（2013·嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）D考点1圆周角与圆心角的关系【例1】（2013·滨州）如图，在⊙O中圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为（）A.156°B.78°C.39°D.12°C【点评】当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来.考点1圆周角与圆心角的关系对应训练1.（2013·泰安）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（）A.60°B.70°C.120°D.140°D考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例2】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是.30°或150°【点评】在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论.本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补.考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系对应训练2.（2013·内江）如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A考点3点与圆的位置关系【例3】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝,P点在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外,点C在圆P内C.点B在圆P内,点C在圆P外D.点B，C均在圆P内C53【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可.对应训练3.在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是（）A.当a＜5时，点B在⊙A内B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内C.当a＜1时，点B在⊙A外D.当a＞5时，点B在⊙A外A考点3点与圆的位置关系考点4垂直定理及应用417【点评】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想.考点4垂直定理及应用对应训练4.在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入部分油，油面宽320mm，求油的深度.易错专攻27.外心位置要弄清试题△ABC内接于半径为r的⊙O，且BCABAC，OD⊥BC于D，若OD＝12r，求∠A的度数．易错专攻27.外心位置要弄清错解解：当圆心O在△ABC内时，如图，连接OB、OC.∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝30°，∴∠DOC＝60°.同理，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝60°.当圆心O在△ABC外时，如图，同上，可求得∠BOC＝120°，∴∠A＝∠BOC＝120°.综上，∠A的度数为60°或120°.易错专攻27.外心位置要弄清剖析上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了，因为BCABAC，BC是不等边△ABC的最大边，所以∠A＝60°不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题的圆心应在△ABC的外部．易错专攻27.外心位置要弄清正解解：∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝30°，∠DOC＝60°.同理，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴BAC度数为120°，BmC度数为240°，∴∠A＝120°.请完成考点跟踪突破