双曲线及其标准方程(公开课)讲解

yxoF2MF1差等于常数的点的轨迹又是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的想一想？和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹是椭圆.平面内与两定点F1、F2的距离的①如图(A)，|MF1|-|MF2|=常数②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=常数（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=常数①两个定点F1、F2——双曲线的焦点②|F1F2|=2c——焦距oF2F1M双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线（02a|F1F2|).即||MF1|-|MF2||=2a|MF1|-|MF2|=2a02a|F1F2|注意①若2a=2c,则轨迹是什么？②若2a2c,则轨迹是什么？③若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2F1F2思考：定义中为什么强调常数2a要小于|F1F2|且大于0（即02a2c）呢？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？如何求这优美的双曲线的方程呢？设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数=2aF2以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系1.建系.2.设点．3.列式．|MF1|-|MF2|=2a4.化简.yxoF2MF122)(ycx22)(ycx=2a-aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac由双曲线定义知：ac22即：ac022ac设0222bbac代入上式整理得：122222acyax两边同时除以得：222aca)0,0(12222babyax这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.yxoF2MF1☆☆☆双曲线在生活中☆☆☆焦点在y轴上的双曲线的标准方程F2F1yxo)0,0(12222babyax焦点在x轴上的双曲线的标准方程yxoF2MF1类比椭圆的标准方程，可知焦点在y轴上的双曲线的标准方程是：1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(0，c).)0,0(12222babxay)0,0(12222babyax三.双曲线两种标准方程的比较①方程用“－”号连接。②分母是但大小不定。0,0,,22bababa,③。222bac④如果的系数是正的，则焦点在轴上；如果的系数是正的，则焦点在轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，c2=a2+b2但a不一定大于bab0，四、双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababc2=a2-b2判断下列方程所表示的曲线类型，并求其焦点坐标。11782117812222xyxy答案：)0,3).(0,3(1椭圆)5,0).(5,0(2双曲线例1、例题讲解：例2：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．解:按定义，所求点的轨迹是双曲线，所以所求双曲线的标准方程为：14y3x2222即：116y9x22若2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．如果把6改为10，点的轨迹是什么？改为12呢？若2a=10，则2a=2c，点的轨迹是两条射线。又由c=5，a=3，得b2=c2-a2=52-32=42．Ex：2、已知方程表示双曲线，则m的取值范围是_________________；若表示椭圆,则m的取值范围是________________.11222mymx{m|m-1或m-2}(-2,-1.5)∪(-1.5,-1)1、分别求椭圆的焦点与双曲线的焦点。192522yx151522yx椭圆中c2=a2-b2,得:c2=25-9=16,c=4.故F1(-4,0),F2(4,0)双曲线为,又c2=a2+b2得:c2=15+1=16,c=4.故F1(-4,0),F2(4,0)111522yx同为F(4,0)若为双曲线,则(2+m)(m+1)0，120102mmmm若为椭圆,则定义图象方程焦点a.b.c的关系)0,0(12222babyaxF1F2yxoyoxF1F2||MF1|—|MF2||=2a（0＜2a＜|F1F2|）F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)c2=a2+b2习题2.2１，２.1byax2222补充题：已知双曲线（a0,b0），弦AB过焦点F1且与左支有两个交点，且|AF2|+|BF2|=2|AB|，求|AB|。