线性代数习题2

第2章线性方程组练习题1、已知1=(1,1,0,1)T，2=(2,1,3,1)T，3=(1,1,0,0)T，4=(0,1,1,1)T，=(0,0,0,1)T，（1）求向量组1，2，3，4的秩，（2）判定是否可以表为1，2，3，4的线性组合，说明理由。（4，可以）2、设向量组1=(1,1,1)T，2=(1,2,3)T，3=(1,3,t)T，求（1）当t为何值时，1，2，3线性无关？（2）当t为何值时，1，2，3线性相关？此时将3表为1与2的线性组合。（t5时，1，2，3线性无关；t=5时，1，2，3线性相关，且3=1+22）3、确定为何值时，向量=(0,1,)T可以表为向量组1=(1,2,3)T，2=(2,1,1)T，3=(1,1,2)T，4=(2,1,1)T的线性组合，并求出一个具体表达式。（=1；=1+2+3+4）4、设111k，112k，k113，223k，讨论k为何值时，（1）不能由1，2，3线性表出；（2）能由1，2，3线性表出，且表示法唯一；（3）能由1，2，3线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。（（1）2；（2）k1且k2；（3）1，=21）5、已知向量组1=(1,0,2,3)T，2=(1,1,3,5)T，3=(1,1,a+2,1)T，4=(1,2,4,a+8)T及=(1,1,b+3,5)T，求（1）a、b为何值时，不能表示成1，2，3，4的线性组合；（2）a、b为何值时，有1，2，3，4的唯一线性表示式，写出该表示式。（当a=1且b0时，不可以；当a1时，有唯一的线性表示式432101a1a1a1a2bbb）6、已知1=(1,2,3,1)T，2=(5,5,a,11)T，3=(1,3,6,3)T，=(2,1,3,b)T，问（1）a、b取何值时，不能由1，2，3线性表示？（2）a、b取何值时，可以由1，2，3线性表示？并写出表示式。（b4时，不能；b=4且a12时，唯一表示：=1+02+3；b=4且a=12时，表示不唯一：=(12c)1+c2+(13c)3（c为任意常数））7、设向量组1=(2,k,1)T，2=(k1,1,2)T，3=(4,1,4)T线性相关，求k值。（k=1或k=9/4）8、设n维（n1）向量组1=(0,1,1,…,1,1)T，2=(1,0,1,…,1,1)T，…，n=(1,1,1,…,1,0)T，试判断该向量组是否线性相关。（线性无关）9、已知向量组1，2，…，s（s2）线性无关，设1=1+2，2=2+3，…，s1=s1+s，s=s+1，讨论向量组1，2，…，s的线性相关性。（s为奇数时，线性无关；s为偶数时，线性相关）10、设向量组1，2，3线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组l21，m32，13线性无关。（lm1）11、设向量组1=(1,2,1,1)T，2=(2,0,t,0)T，3=(0,4,5,2)T的秩为2，求t的值。（t=3）12、设向量组1，2，3，4，5，其中1=(1,1,2,4)T，2=(0,3,1,2)T，3=(3,0,7,14)T，4=(1,2,2,0)T，5=(2,1,5,10)T。求（1）向量组1，2，3，4，5的秩；（2）找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。（3；1，2，4为其一个极大无关组，3=31+2+04，5=21+2+04）13、已知向量组1=(1,1,1,3)T，2=(1,3,5,1)T，3=(3,2,1,p+2)T，4=(2,6,10,p)T，问：（1）p取何值时，向量组1，2，3，4线性无关？试将向量=(4,1,6,10)T用1，2，3，4线性表出。（2）p取何值时，向量组1，2，3，4线性相关？求出1，2，3，4的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。（p2时，线性无关，4321212432pppp；P=2时，线性相关，极大无关组：1，2，3，且4=01+22+03）14、已知齐次线性方程组0200221321321kxxxxxxxkx有非零解，求k的值。（2或3）15、设34矩阵A为一齐次线性方程组的系数矩阵，且r(A)=2，又已知1=(1,1,3,1)T，2=(1,1,1,3)T，3=(5,2,8,9)T，4=(1,3,1,7)T均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。（基础解系：1，2；且2132723，4=1+22）16、已知向量组1=(1,2,1,0,0)T，2=(1,2,0,1,0)T，3=(0,0,1,1,0)T，4=(1,2,3,2,0)T都是下面齐次线性方程组的解：033450622032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx，判断1，2，3，4是否为该方程组得一个基础解系？若是，说明理由；若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。（不是。基础解系为：1，2，，其中=(5,6,0,0,1)T）17、用基础解系表示下列方程组的全部解22334731243214321421xxxxxxxxxxx。（10110121001021cc，c1、c2为任意常数）18、设bbA2a21a32a1021，331B，321xxxX，试就a、b的各种取值情况，讨论线性方程组AX=B的解，如果有解，求出其解。（当a=0时，无解；当a0且ab时，有唯一解：0,a1,a11321xxx；当a0且a=b时，有无穷多解：cxcxx321,a1,a11，c为任意常数）19、已知非齐次线性方程组AX=B的增广矩阵A经初等行变换化为如下形式：20110021082400100001,tkBAA，讨论k、t取何值时方程组无解，有解；当有解时，写出它的全部解。（当t2时，无解；当t=2且k=8时，全部解为10210124001121cc，c1、c2为任意常数；当t=2且k8时，全部解为10210011c，c为任意常数）20、当a、b为何值时，线性方程组1a232)3a(122043214324324321xxxxbxxxxxxxxxx无解，有唯一解和无穷多解？在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。（a=1且b1时，无解；a1时，唯一解；a=1且b=1时，无穷多解：10210121001121cc，c1、c2为任意常数）21、讨论k为何值时线性方程组4243212321321xxxkxkxxkxxx无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。（当k=1时，无解；当k1且k4时，唯一解；当k=4时，无穷多解：113040c，c为任意常数）22、设四元非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3为它的三个解向量，其中1=(2,0,5,1)T，2+3=(2,0,2,6)T，试求该方程组的全部解。（812021502c，c为任意常数）23、已知矩阵A是4元非齐次方程组的系数矩阵，且r(A)=3，1，2，3是该方程组的三个不同解向量，其中1+22+3=(2,4,6,8)T，1+23=(1,3,5,7)T，试求4元非齐次方程组的全部解。（TTc)4,2,0,2()223121(，，，，c为任意常数。）24、设A为34矩阵，r(A)=2，且已知非齐次线性方程组AX=b的三个解为1=(1,1,0,2)T，2=(2,1,1,4)T，3=(4,5,3,11)T，求：（1）齐次线性方程组AX=0的通解；（2）用基础解系表示出4元非齐次线性方程组AX=b的全部解。（=c1(21)+c2(32)=c1(1,2,1,2)T+c2(2,4,2,7)T，c1、c2为任意常数；=1+=(1,1,0,2)T+c1(1,2,1,2)T+c2(2,4,2,7)T，c1、c2为任意常数）25、已知1=(1,2,0)T，2=(1,a+2,3a)T，3=(1,b+2,a+2b)T，=(1,3,3)T，当a、b为何值时，1，2，3是R3的一组基？并求在这组基下的坐标。（a0且a+5b+120；0,a1,a1a）26、在R3中给定两组基：1=(1,1,0)T，2=(0,1,1)T，3=(1,1,2)T；1=(1,0,1)T，2=(0,1,1)T，3=(1,1,4)T，求非零向量，使它在上述两组基下有相同的坐标。（=c(0,1,1)T，c为任意非零常数）27、设齐次线性方程组002054325315421xxxxxxxxxxx，求其解空间的一组正交基。（(1,1,1,0,0)T，T)01313231(，，，，，(1,0,1,0,1)T）28、设1=(1,2,2)T，2=(2,4,4)T，3=(1,0,1)T，4=(2,2,3)T，5=(5,3,7)TR3，求（1）R3的子空间L(1，2，3，4，5)的维数和一组标准正交基。（2）1，2，3，4，5在这组标准正交基下的坐标。（dimL(1，2，3，4，5)=3，T32,32,31，T31,32,32，T32,31,32；(3,0,0)，(6,0,0)，(1,1,0)，(4,1,0)，(1,1,9)）29、设向量组1，2，3，其中1=(1,1,0)T，2=(1,0,1)T，3=(1,1,1)T，并且1与2线性无关，3与1，2相互正交，（1）试判断1，2，3是否为R3上的一组基；（2）如果是，将其化为R3上的一组标准正交基。（是；T0,21,21，T62,61,61，T31,31,31）30、证明题（1）设方程组0302022321321321xxxxxxxxx的系数矩阵为A，三阶矩阵B0，且满足AB=0，求①参数；②该方程组的全部解；③证明行列式B=0。（1；=c(0,1,1