《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《有理数》全章复习与巩固（提高）撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如.（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负.4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.数a的绝对值记作a.（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1．法则（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b)（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0.（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·1b(b≠0)（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0，(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3.（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9，3(3)27.2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a;②乘法交换律:ab=ba;（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c);②乘法结合律：（ab）c=a(bc)(3)分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10na的形式（其中110a，n是正整数），此种记法叫做科学记数法.例如：200000=5210.2.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：0.00027有两个有效数字：2，7.注意：万=410，亿=108【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y|+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高357129复习例题2】【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a0;|a|=-a时，a0.②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①②（3）已知(-ab)30，则（）A．ab0B．ab0C．a0且b0D．a0且b0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A．120B．-15C．0D．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（）A．-a6与(-a)6B．-a3与|-a|3C．[(-a)2]3与(-a3)2D．(ab)3与ab3【答案】（1）C;（2）C;（3）A；（4）D；(5)C【变式2】某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）________元.【答案】103.6710.提示：333.91.1367.29（亿元）103.6710（元）2.在下列两数之间填上适当的不等号：99100________100101．【思路点拨】在a、b均为正数的条件下，根据“1ab，1ab，1ab分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＞【解析】法一：作差法：99100（100101）=99100991011001001010010110110010100，∴99100100101.法二：作商法：由于99100991019999110010110010010000，所以99100100101．再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：99100100101．【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.举一反三：【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．1111111_________111111111．【答案】＞（提示：倒数法较简便）类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习357133有理数的混合运算】3．(1)211143623324(2)()(.)()5153151244(4).1377751112534812863(5)1003221511221132【答案与解析】（1）原式21111143622332412（2）原式543421215239（3）原式3132(4)12(1516)104（4）原式12561[1(2)1]()233253（5）1125112()41192原式3.9【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.举一反三：【变式】()23541324121522（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923（2）23155115(1)()()(2)()299229【答案】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923251471834()199(2)492584929118343()199(2)44929220(3)32033123（2）23155115(1)()()(2)()299229955515()()()()499289595117()()29428244.先观察下列各式：11111434；111147347；11117103710；…；1111(3)33nnnn，根据以上观察，计算：1111447710…120052008的值．【答案与解析】原式111111111111343473710320052008…1111111113447710200520081112007669132008320082008．【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133nn的形式，然后再进行计算．举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高例2】【变式】用简单方法计算：120180148124181【答案】原式=1111111111115(...)244668810101222446101224类型三、数学思想在本章中的应用5.（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A．2b+aB．2b-aC．aD．b（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小．（3）转化思想：1(999)35．【答案与解析】（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时，|a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）1(999)(10001)(35)35(1000)(35)1(35)34965．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.类型四、规律探索6.(安徽)下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是()．A．495B．497C．501D．503【思路点拨】多位数1