高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝y2－y1x2－x1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2.3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2.1.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②解①②组成的方程组得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即ab＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b)．④由③④联立，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.注：已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(1)对于l1∥l2的问题，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l1⊥l2的问题，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可．2．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()A．－3B．－43C．2D．3解析：选D由2a－6＝0得a＝3.故选D.3．已知直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A.32B.32或0C．0D．－2解析：选A当a＝0时，两直线的方程化为x＝1和x＝1，显然重合，不符合题意；当a≠0时，a－11＝a2a，解得a＝32.故选A.二、直线方程1．直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的直线不垂直于x轴截距两点式一般情况y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式xa＋yb＝1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0A，B，C为系数任何情况2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.4.过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解]当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋1k，∴B3＋1k，0，由y＝2x，y＋1＝kx－3，得点C的横坐标xC＝3k＋1k－2.∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，∴3k＋1k－2－1k－3＝21k，∴3k＋1k－2－1k－3＝2k或3k＋1k－2－1k－3＝－2k，解得k＝－32或k＝14.∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d1＝|m＋1|13，d2＝|m＋13|13，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.6．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵kPP′·kl＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×x′＋x2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得x′＝－4x＋3y－95，③y′＝3x＋4y＋35.④(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－95－3x＋4y＋35－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；(2)求圆M的方程．[解](1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．又A(－3,0)，所以直线AD的方程为y－0－2－0＝x＋31＋3，即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.因为直线BC的斜率kBC＝2，所以直线AD的斜率kAD＝－12，由直线的点斜式方程，得y－0＝－12(x＋3)，所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得9－3D＋F＝0，4＋2D＋F＝0，16－4E＋F＝0，解得D＝1，E＝52，F＝－6.所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋52y－6＝0.注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．8．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：选B直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.9．已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求圆C的方程．解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，得2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10.所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．解：联立两圆的方程得方程组x2＋y2－12x－2y－13＝0，x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.再由4x＋3y－2＝0，x2＋y2－12x－2y－13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为125＋12＋－6－22＝5.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若dr，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ0⇔直线与圆相交；Δ0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2(其中x1，x2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半l2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2r2－d2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则|AB|＝()A.22B.32C.3D.2(2)若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为()A．1B．±1C．±3D.3(3)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．①若l与圆C相切，求l的方程；②若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝22，求此时直