北大医学数字图像处理2.2离散余弦变换(DCT)

2．2离散余弦变换（DCT）Therearemanyothertransformsthatareusedquiteoftenbyengineersandmathematicians..Hilberttransform,short-timeFouriertransform(moreaboutthislater),Wignerdistributions,theRadonTransform,andofcourseourfeaturedtransformation,thewavelettransform,constituteonlyasmallportionofahugelistoftransformsthatareavailableatengineer'sandmathematician'sdisposal.Everytransformationtechniquehasitsownareaofapplication,withadvantagesanddisadvantages.–R.Polikar,theWaveletTotorial2.2.1离散图像变换的一般表达式[4]„离散图像变换的代数表达式对于2－D离散函数1,,2,1,0;1,0,1,2,),(−=−=NyMxyxfLL有变换对111200(,)(,)(,))MNxyugxufxygyv−−==⎛=⎞⎜⎟⎝⎠∑∑正变换核111200)(,)(,)(,)MNuvhxuTuvhyv−−==⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑反变换核1100(,)(,)(,,,0,1,2,,10,1,2,,1MNxyTuvfxygxuyvMvN−−====−−=∑∑LLuuuuuuuuuuuuru100(,)(,)(,,,0,1,2,,10,1,2,,1MNuvfxyTuvhxuyvxMyN−−====−=−∑∑LLuuuuuuuuuuuur1上两式已经考虑了可分离性（Separability），变换核可分离的离散图像变换表示为1⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−==−=−==∑∑∑∑−=−=−=−=1,,2,1,01,,2,1,0),(),(),(),(1,,2,1,01,,2,1,0),(),(),(),(101021101021NyMxvyhvuTuxhyxfNvMuvygyxfuxgvuTMuNvMxNyLLLL如此，二维离散变换就可以用两次一维变换实现。对傅里叶变换，正变换核⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=NvyMuxjgπ2exp，实际是由正弦和余弦函数组成；反（或说是逆）变换核⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=NvyMuxjhπ2exp。„矩阵表达式在二维离散傅里叶变换式（可分离变换）∑∑−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=10102exp),(1),(MxNyNvyMuxjyxfMNvuFπ中，令2exp,exp2MNjWjMNπ⎡⎤⎡⎤−=−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Wπ(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1)(FFFNFFFNFM−−−LLMMM，则上式用矩阵可表示为x=012.....M-1u=2000012(1)0242(1)00(1)2(1)(1)0211,0)(1,0)(1,1)MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM−−−−−⎡1M1⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－y=012.....N-1v=－LLLMMMMLL(0,0)(0,1)(fff×L2000012(1)0242(1)00(1)2(1)(1)0,1)(1,0)(1,1)(1,1)(1,0)(1,1)(1,0121)N1NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN−−−−−⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥×⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLLLMMMMMMMLL2简写为NMfWWF=，式中，的矩阵元为；的矩阵元为。MWuxMWNWvyNW傅里叶逆变换矩阵式可如下获得1111−−−−==NMNNMMF。易得（上式与二维离散傅里叶逆变换式对比）2000012(0242(100(1)2(1)(1)1MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM−−−−−−−−−−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLLMMMML1)1)−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−−−−−−−−−−−−−2)1()1(2)1()1(242)1(21000000011NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN易知*1*1,TTMMN−−==，故，和是酉矩阵，所对应的傅里叶变换是一种酉变换。况下，假如一个变换（或反变换）的变换核是可分离的，均可写成MWNW普遍情=AfBT11−−=TBAf对),(yxf，NyMxLL，矩阵A为⎩⎨⎧−=−=1,,2,1,01,,2,1,0MM×方阵；矩阵B为方阵。NN×31−假如一个变换的变换核是不可分离的，有=TAfAfT=，其中A和1A−M×M均是方阵,这时无法通过两次一维变换来实现二维变换。One-D离散余弦变换（DCT）提算，但傅立叶变换的实部只含有余弦项，可以构造DCT，这是一种实数域的变换，是简化傅里叶变换的重要方法，在一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把|DCT作为一个基本处理模块，已经在图像压缩编码中得到广泛应用。离散余弦变换的正变换核2.2.2[4,5]DFT供了频谱分析最重要的工具。但DFT运算是复数域运在实时处理中并不方便。)1,,2,11;-,0,1,2,(=⎪⎪⎬uNxNL2cos),(⎪⎭=NNuxg)12(21)0,(−=⎪⎫+=NuxxgLπ对应的离散余弦变换)1,,2,1(2)12(cos)(2)(0=∑=fNuFx)1,,2,1,0()(1)0(110−=+−==∑−−=NuNuxxNxxfNFNNxLLπ其中是时域N点序列；为第u个余弦变换系数；u为广义频率变量。取反变换核＝正变换核，有)(xf)(uF∑−=−=++=11)1,,2,1,0(2)12(cos)(2)0(1)(NuNxNuxuFNFNxfLπ42.2.3Two-D离散余弦变换正变换NvyNuxyxfNvuFuNxyxfNuFvNyyxfNvFxy),0(00=∑∑==yxfNFNxNyNxNyNNNxNy2)12(cos2)12(cos),(2),(2)12(cos),(2)0,(2)12(cos),(2),(1)0,0(10101010111010ππππ++=+=+=∑∑∑∑∑∑−=−=−=−=−−−=−=其中，是空间域二维向量之元素，),(yxf1,,2,1,0,−=NyxL；是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为),(vuFNN×。2.2.4正弦变换[1]DST的原始结果是由奇函数(,)fxy得到。可以如下定义变换核()(1)12(,)sin(,0,1,2,,-1)11xuAuxxuNNNπ++==++L„One－D对应的一维离散正弦变换与反变换公式分别为()()1010(1)12()()sin0111(1)12()()sin0111NxNuxuFufxuNNNxuxFuxNNNππ−=−=++=≤≤−+++=≤≤−+∑∑＋＋数；u为广义频率变量。„Two-D正变换与反变换分别为f)(xf是时域N点序列；)(uF为第u个余弦变换系5()()()()110011001uvN==＋(1)1(1)12(,)(,)sinsin111(1)1(1)12(,)(,)sinsin11NNxyNNxuyvFufxyNNNxuyvfxyFuvNNππππ−−==−−++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑＋其中，是空间域二维向量之元素，v),(yxf1,,2,1,0,−=NyxL；是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为),(vuFNN×。„余弦变换与正弦变换的性质它们的正变换核与反变换核是相同的；和非扩展式；法；频的特征。于考教学参考书，如本章参考文中ExampiRGB=imread('autumn.tif');=rgb2gray(RGB);%将彩图转成灰度图像进行以进行CT变换1）2）DCT和DST分别是DFT的对称对称3）DCT和DST均有快速算4）DCT和DST对图像均有把能量集中在低关这些性质的较详细讨论可以参献[1]pp.81-83；参考文献[3]中pp.83-84。leITocomputethediscretecosinetransformfortheautumnmage.figure,imshow('autumn.tif');IDJ=dct2(I);figure,imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64)),colorbar6%利用idct函数实现图像的二维离散余弦反变换J(abs(J)10)=0;%将DCT变换值小于10的元素设为零K=idct2(J)/255;%对逆DCT变换值归一化；figure,imshow(K)7