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小学奥数基础教程（五年级）-1-小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（5÷13-7）×（17+9）。当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。例2将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12×464，16×348，24×232，29×192，32×174，48×116。显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000÷573=773……71推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。例4已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是9。这时，虽然89×96=8544，但不能认为六位数中间的两个□内是85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896。由3796×89=337844，3896×89=346744知，商是3796，所求六位数是337844。例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10，E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且X≠0或1，所以R+T+T+1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，则R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的数，矛盾。若T=8，则R只能取6或7。R=6时，X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时，X=4，剩下数字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。小学奥数基础教程（五年级）-2-解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是40，10，10，60，而40+10+10正好是60，真是巧极了！例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，与E=9矛盾，所以个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比D大2，所以G，D分别可取4，2或5，3或6，4。所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。第2讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）×3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。求竖式。例3左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以x=112，被除数为989×112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例4在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23×53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数小学奥数基础教程（五年级）-3-只能是16，进而推知b=6。因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.375×16=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子5），另一个含有因子5n（不含因子2），以此为突破口即可求解。例5一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10**0（见竖式（1）'），竖式（1）的除数为3或9。在竖式（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4，6或8。当竖式（1）的除数为3时，由竖式（1）'知，a=1或2，所以被除数为100*0或101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为4，被除数为10020；当竖式（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为8，被除数为10440。所以这个五位数是10020或10440。练习21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的2.用代数方法求解下列竖式：3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：第3讲定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例1对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。根据以上的规定，求10△6的值。3，x=2，求x的值。分析与解：按照定义的运算，1，2，3，x=2，x=6。由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。小学奥数基础教程（五年级）-4-分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。按通常的规则从左至右进行运算。分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。例6对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。例如4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？分析与解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，……由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0。所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。例7如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。求3¤（4¤6）¤12的值。解：3¤（4¤6）¤12=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12=3¤19¤12=[4×19-（3+19）