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第三十二讲概率初步1.了解：概率的意义；2.理解：用频率估计概率的意义和方法；3.掌握：列举法、列表法、画树形图法求概率的方法；4.会：运用列举法、列表法、画树形图法计算简单事件发生的概率；5.能：判断游戏是否公平，并能设计公平合理的游戏规则.一、事件的概念及其分类1.必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中_____会发生的事件是必然事件.2.不可能事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中，_________发生的事件是不可能事件.3.随机事件在一定条件下,_____________________的事件,称为随机事件.一定一定不会可能发生也可能不发生4.事件的分类必然事件不可能事件随机事件【即时应用】1.早晨的太阳从东方升起是_____事件；掷一枚均匀的正方体骰子，点数为6是_____事件；今天星期四，明天星期日是________事件.2.口袋里装有1角、5角和1元的硬币，“在口袋里摸出一个1元硬币”这是一个_____事件(填“可能”或“不可能”).必然随机不可能可能二、事件的概率及求法1.概率一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).2.概率P(A)的取值范围为___________.3.必然事件的概率：P(A)=__.4.不可能事件的概率：P(A)=__.5.随机事件的概率：___________.6.求概率的方法有：用频率估计概率、列举法、列表法、画树形图法.0≤P(A)≤1100＜P(A)＜1【即时应用】1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数中随机取出一个数,取出的数是3的倍数的概率是___.2.从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是__.3.随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率是__.3101378【核心点拨】1.不能说频率等于概率，这两者的区别在于:频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性.一个事件发生的频率接近于概率，必须有足够的大量重复试验，才可以用频率作为事件发生的概率的估计值.2．概率只是反映事件发生的可能性大小，并不一定发生.事件的分类◆中考指数：★★★☆☆知识点睛不可能发生就是指每次都一定没有机会发生或者说发生的机会是0；必然发生是指每次一定发生或者说发生的机会是100%；可能发生是指有时会发生，有时不会发生或者发生的机会介于0和100%之间.特别提醒一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同随机事件发生的可能性的大小有可能不同.【例1】(2012·资阳中考)下列事件为必然事件的是()(A)小王参加本次数学考试，成绩是150分(B)某射击运动员射靶一次，正中靶心(C)打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻(D)口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球【思路点拨】依据必然事件的概念确定.【自主解答】选D.A选项中，数学考试满分为120分，故成绩是150分是不可能事件；B，C选项，是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件;口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，只有两种情况：两个红球，一个红球和一个白球，所以其中必有红球，因此D选项是必然事件.【对点训练】1.(2012·绵阳中考)下列事件中，是随机事件的是()(A)度量四边形的内角和为180°(B)通常加热到100℃，水沸腾(C)袋中有2个黄球,3个绿球,共五个球,随机摸出一个球是红球(D)抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上【解析】选D.A中，四边形的内角和是360°，因此度量四边形的内角和为180°的这个事件是不可能发生的，故不是随机事件；B中，水的沸点是100℃，所以当加热到100℃时，水一定会沸腾，这是必然发生的，故不是随机事件；C中，袋子中不存在红球，故一定不会摸出红球，故不是随机事件；D中，抛掷一枚硬币，可能会出现正反两种情况，故D正确.2.(2012·杭州中考)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是()(A)摸到红球是必然事件(B)摸到白球是不可能事件(C)摸到红球与摸到白球的可能性相等(D)摸到红球比摸到白球的可能性大【解析】选D．A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；B．摸到白球是随机事件，故此选项错误；C．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确.故选D.3.(2012·长沙中考)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是_______事件.【解析】必然事件表示在一定条件下，必然发生的事情；随机事件表示可能发生，也可能不发生.掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下.所以“正面朝上”是随机事件.答案：随机4.(2011·郴州中考)写出一个“不可能事件”：_______.【解析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.答案：太阳从西边出来(答案不唯一)简单事件的概率计算◆中考指数：★★★★☆知识点睛1.若一次试验中所有的结果数是有限的，并且每一种可能的结果出现的可能性是一样的，这样的概率模型称为等可能模型，等可能模型的概率计算公式为：2.当一个事件要涉及两个并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.3.当一次试验涉及三个因素或三个以上的的因素时，通常用画树形图法.EP(E)事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数特别提醒当试验的所有可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，可以根据随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数去估计该事件发生的概率.【例2】(2012·凉山州中考)如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片上算式正确的概率是()【思路点拨】依次判断四张卡片上的算式是否正确，再求概率.113(A)(B)(C)(D)1424【自主解答】选B.根据同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方法则可知a3·a4=a7，(a3)2=a6正确，a8÷a4=a4，故a8÷a4=a2不正确；∵a2和a3不是同类项，不能合并,∴a2+a3=2a5不正确，∴抽到的卡片上算式正确的概率是.12【对点训练】5.(2012·北京中考)班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是()【解析】选B.P(科普读物)1112(A)(B)(C)(D)632321.636.(2011·衢州中考)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩，则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是()1122(A)(B)(C)(D)9339【解析】选A.画树形图得：∴一共有9种等可能的结果，王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地点的有一种情况，∴王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是1.9【高手支招】利用列表法、画树形图法求概率，实质上是求等可能性事件的概率，其前提是各种情况出现的可能性必须相同.7.(2012·内江中考)如图所示，A，B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是_______.【解析】此格点图共有36个格点，要想△ABC的面积为1，那么符合要求的点如下图：从图上可知，符合要求的点共有8个，所以恰好能使△ABC的面积为1的概率是.答案：29298.(2011·淮安中考)有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为_______.【解析】∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百分比是60%,∴1000×60%=600.答案：600游戏的公平性◆中考指数：★★★☆☆知识点睛游戏的公平性通过概率来判断，是在得分相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘以相应得分，结果相等即公平，否则不公平.特别提醒在设计游戏规则时要注意设计的方案要使双方获胜的概率相同；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等特点.【例3】(2012·黔东南中考)在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率；(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则.【思路点拨】【自主解答】(1)由上表可知共12种情况，点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的有4种，所以概率为xy12341(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)41.123(2)这个游戏不公平.由(1)可知，xy＞6的概率为，xy＜6的概率为,所以游戏不公平.公平的游戏规则：若xy满足xy≥6,则小明胜，若xy满足xy＜6，则小红胜.411236111,12223＞【对点训练】9.(2012·日照中考)周日里，我和爸爸、妈妈在家都想使用电脑上网，可是家里只有一台电脑啊，怎么办？为了公平起见我设计了下面的两种游戏规则，确定谁使用电脑上网.(1)任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑.(2)任意投掷两枚骰子，若点数之和被3整除，则爸爸使用电脑；若点数之和被3除余数为1，则妈妈使用电脑；若点数之和被3除余数为2，则我使用电脑.请你来评判，这两种游戏规则哪种公平，并说明理由.【解析】第一种游戏规则不公平，第二种游戏规则公平.(1)用列表法计算概率：两枚硬币都是正面朝上的概率为；两枚硬币都是反面朝上的概率为；两枚硬币一正面朝上一反面朝上的概率为；“我”使用电脑的概率大；正面朝上反面朝上正面朝上正面朝上正面朝上反面朝上正面朝上反面朝上正面朝上反面朝上反面朝上反面朝上141412(2)用列表法计算概率：123456123456723456783456789456789105678910116789101112点数之和被3整除的概率为；点数之和被3除余数为1的概率为；点数之和被3除余数为2的概率为；三种情况的概率相等.所以第一种游戏规则不公平，第二种游戏规则公平.121363121363121363【创新命题】概率和代数、几何问题的联手【例】(2011·凉山州中考)6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其他均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等.(1)从这6张卡片中随机抽取一张，