包装动力学

第二章振动与冲击理论基础1、振动问题分类2、单自由度线性系统自由振动3、单自由度线性系统强迫振动第一节概述一、振动包装动力学就是将包装件视为振动系统，应用振动理论分析包装件对振动与冲击环境的响应。外力作用是振动系统产生振动不可缺少的条件，是促使系统振动的外因。在振动理论中，将外力作用称为干扰，或者激励，而将系统的振动称为外力作用的响应。系统振动的另一个原因是具有惯性和弹性一、振动包装中由于使用了缓冲材料，缓冲材料具有一定的弹性，所以包装中的被包装产品与缓冲材料也就组成了振动系统。运输途中的各种不可预知的因素就是包装振动系统中的外力（干扰），缓冲材料的弹性就会引起被包装产品的不断振动。我们就要研究缓冲材料和被包装产品组成的振动系统在运输过程中是否能保护被包装产品（也就是选材，设计合理性的问题）。二、振动分类对振动系统而言，振动是由振源（运输工具）向振动系统（包装件）输入了信号（干扰或激励），系统（产品）所作的响应。1、振动分析：已知振源和系统特性，求系统的响应2、环境预测：已知系统特性和响应（产品要求），反过来推测输入，也就是振源，也就是运输环境3、振动特性测试（系统识别）：已知输入（振源）和响应（输出）来确定系统特性（缓冲材料选择）振源响应包装件系统特性k、c、m振动问题分类二、振动分类三、包装件建模将被包装产品假定为匀质刚体，略去外包装箱的质量和弹性，不计缓冲材料的质量，并认为缓冲材料是具有粘性和阻尼的弹性体，也就简化成了质量、弹簧和阻尼三种物理参数组成的系统。xmck1、单自由度：描述此系统只要一个独立坐标x就可以清楚的描述产品的运动特性。即位移x与时间t之间的关系。所以它是单自由度系统。k—弹性系数c――粘性阻尼系数三、包装件建模k1k2c2c1m2m1m1m2――易损件、产品质量k1c1—易损件与产品间弹性、阻尼k2c2—缓冲材料弹性、阻尼2、二自由度系统产品上最关键、最灵敏、最脆弱的部件往往最易破损，我们称这种部件为易损件。当需要分析易损件的响应时对m1而言，就属于二自由度系统，以m2为参照物和以固定的地面为参照物，它的运动方程就不同。三、包装件建模四、机械振动分类1、根据系统输入（振源）类型分类，分为：（1）自由振动：系统只受到初干扰或外界激励干扰取消后，系统仅在弹性恢复力作用下产生的振动（2）强迫振动：外界激扰力作用下产生的。（3）自激振动：输入与输出间有反馈特性，并有能量补充。2、按系统运动微分方程来划分：线性系统（振动）非线性系统（振动）3、按系统的输出规律分，可分为周期振动和随机振动等。第二节单自由度线性系统的自由振动一、无阻尼系统的自由振动x即c=0，单自由度系统就简化为质量――弹簧系统。mxkL0O在无外界干扰时，振体m在o点位置保持平衡（平衡位置）。给振体铅垂方向初干扰（初位移或初速度）就形成了自由振动。1、无阻尼时系统自由振动的微分方程及其解方程：)(stxkmgxmFmastkmgmkkxxmn2一、无阻尼系统的自由振动x初始条件：t=0时，000,vxxxx所以微分方程的解为：)sin(sincos00tAtvtxxnnnnnA、称为振幅和初始角。固有频率一、无阻尼系统的自由振动x2、周期和频率：在简谐运动情况下，每经过一个周期，相位增加2π，则2tTtnn2Tn周期：kmT2（S）每振动一次所需要的时间频率：mkTf211单位赫兹（HZ）每秒内振动的次数一、无阻尼系统的自由振动x振体在2π秒内振动的次数，只决定于系统的基本参量，与初始条件无关。stngfTmk22弧度／秒rad/s一、无阻尼系统的自由振动x3、串联弹簧和并联弹簧的等效刚度（1）两弹簧串联：在此情况下，两弹簧所受的压力大小都等于所放置的物体的重量mg，所以两弹簧的静伸长分别为：mk1k211kmgst22kmgst则两串联弹簧的总伸长等于两个弹簧的静伸长之和。即212111kkmgststst一、无阻尼系统的自由振动x若用一个弹簧常数为K的弹簧代替原来两个串联弹簧，使两个系统在相等重力mg作用下有相同的静伸长，则有stst2111kkmgkmgst所以21111kkk2121kkkkk推广到n个串联弹簧有：niinkkkkk12111111（1）两弹簧串联：（2）两弹簧并联：在此情况下，在物块重力mg作用下，两弹簧的静伸长量相等，均为ststkkmg21mk1k2一、无阻尼系统的自由振动x（2）两弹簧并联：若用另一弹簧常数为K的弹簧代替原来的两个并联弹簧，使两个系统在放置同一物体时具有相同的静伸长st则有ststkkkmg2121kkk则推广到n个并联弹簧则有niikk1一、无阻尼系统的自由振动x二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动无阻尼自由振动是简谐振动，即振动一经发生，便永远保持等幅的周期运动。实际中发现，自由振动的振幅是逐渐衰减的，经过一定的时间后振动将完全停止。这是因为振动系统总是不可避免地存在着阻尼，不断消耗系统的机械能，使得振动逐渐衰减直至完全消失。对缓冲包装而言，缓冲包装材料是有阻尼的，阻尼的形式也多种多样，常见的有干摩擦阻尼和材料内阻尼，最常见也最简单的是粘滞阻尼。以平衡位置为原点，铅垂向下为x轴正方向。xmck在任一瞬时t，物块位移为x,作用在物块上的力为弹力kx、重力mg、和粘滞阻尼R=xcR与振体速度成正比，c为系数，与振体的形状、大小和介质性质有关。（小球在油中落下）二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动根据力的平衡：xckxxmFma0xmkxmcx这是二阶常系数线性齐次微分方程，设它的特解为stststeAsxAsexAex2,,代入方程（1）中得到特征方程为（1）02mksmcs二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动此方程的两个根为mkmcmcmkmcmcs222,1)2(24)(212（2）根据根号下的值的情况，微分方程就有不同的解1、当0)2(2mkmc时，mkmc2mknnmc2即前面又讲过无阻尼系统所以此时特征方程有二等根，nmcss221二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动所以原微分方程的解为ttmcneBtAeBtAx)()(2此时x与t的关系是按指数规律衰减，所以振动就是随着时间而进行的衰减振动。AB值与初始条件有关。重跟有特殊意义：将此时的阻尼系数c称为临界阻尼系数。记为ncmC2二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动阻尼比：系统中实际存在阻尼系数与该系统中临界阻尼系数之比。cCc应用阻尼比，可以将特征方程的根改写如下ncnncCcCcs)1(1)(222,1（3）特征方程的根的性质取决于阻尼比与1的关系二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动2、当，即时，即实际阻尼小于临界阻尼，即小阻尼情况。1kmc2特征方程有二虚根，nis)1(22,1那么振体运动微分方程的解为：)1sin1cos(2221tAtAexnntnA1、A2为积分常数利用三角函数关系将其化简二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动)1sin(2tAexntnnd21令有阻尼时的圆频率)sin(tAexdtnA、Φ是积分常数，取决于初始条件。小阻尼振动系统的振动可理解为具有不变频率ωd和相位差φ，同时具有按指数规律衰减的振幅的tnAe振动二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动小阻尼自由振动的响应二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动（1）衰减振动周期T1求法TTnd21122当阻尼比很小时，即系统阻尼远小于临界阻尼时，可以不计阻尼二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动（2）对数衰减率δ考察相邻两次振动的振幅比11)(1TTttiininineAeAeAA任意两个相邻振幅比的自然对数来表示幅值衰减率，称为对数衰减率212ln211TAAnii二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动＝常数（减幅系数）可用试验的方法确定系统的阻尼。试验中可测出Ai与Ai＋1的值，可求出δ，然后可求出ζ，根据即可求出系统阻尼c。cCc二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动3、当ζ1，即kmc2即实际阻尼大于临界阻尼，也就是大阻尼情况，也称为过阻尼系统。特征方程有两个不等的实根，则振体的运动方程为：tstseAeAx2121s1s2是特征方程的两个根X与t关系是两个衰减指数函数的和二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动大阻尼系统自由振动的响应ζ＝1最先趋于0，所以临界阻尼系统能最快趋近于平衡位置。阻尼大，运动慢。二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动例：已知单自由度小阻尼系统在第三个峰值时间t3=3.2s对应的振幅比第二个峰值时间t2=3.1s对应的振幅降低了20％，试求此系统的阻尼因子和固有频率。解：（1）阻尼系数根据对数衰减率表达式求出阻尼系数ζ（2）固有频率解（1）阻尼系数：对数衰减率为2231.025.1ln8.0lnln2232xxxx代入式2122035288.02231.042231.042222则或035507.02近似计算误差只有0.6%（2）固有频率：振动周期sttT1.0231阻尼系统的固有频率为sradTd/382.621.0221或HzTf101.01111利用可求出dsraddn/872.68035507.01382.62122第三节单自由度有阻尼线性系统的强迫振动强迫振动：包装件在运输过程中会受到长时间或瞬时的激励（外力作用），这种激励所引起的振动称为强迫振动。一、简谐力作用下的强迫振动假定这种激励（外力）为简谐扰力，tFFtsin0)(则单自由度有阻尼线性系统在简谐激振力作用下的力学模型为：一、简谐力作用下的强迫振动mcxkF(t)oF(t)mkxCx’则其微分方程为tFxckxxmsin0整理后得到：tmFxmkxmcxsin0其解由齐次和特解两部分组成一、简谐力作用下的强迫振动21xxxx1是齐次方程的解，前面已经推导出来了假定为小阻尼系统，即ζ1)sin(1tAexdtn分析x1是一个衰减运动，它将随着时间推移很快衰减为0，所以称为瞬态解，通常不加考虑。原方程也可写成ζ、ωn的形式。一、简谐力作用下的强迫振动tmFxxxnnsin202设特解)sin(2tBxB――强迫振动振幅，ψ――相位差，其值待定将其代入微分方程中，整理化简，可以求出振幅B和相位差ψ的值一、简谐力作用下的强迫振动)cos(2)sin(2tBtBntmFtBnsin)sin(02等式右边变形为sin)cos(cos)sin(sinsin0000tmFtmFtmFtmF0cossin2sincos0022tmFBtmFBnn在任一瞬时t，方程两边都相等，只有sin和cos的系数均为0，即可得到0sin20cos)(0022mFBmFBnn解之得：22222222024)(nnnntgmFB一、简谐力作用下的强迫振动由于mkmcnn,2所以22220)()(mkctgcmkFB由B、tgψ表达式可以看出，二者的值只取决于系统本身的特性和干扰力的性质，与初始条件无关(1)(2)强迫振动在小