电磁学(第三章)

12005年春季学期陈信义编第3章电势电磁学（第三册）2目录【演示实验】高压带电操作、电容器储能§3.1静电场的保守性§3.3电势叠加原理§3.2电势差和电势§3.4电势梯度§3.5电荷在外场中的静电势能§3.6电荷系的静电能§3.7静电场的能量补充：静电场环路定理的微分形式3§3.1静电场的保守性一、静电场是保守场1、点电荷的静电场是保守场单位正电荷沿任意路径由点ab，电场力作的功只与起、终点位置有关，与移动的路径无关。rrqEˆ420有心力场4LbabababLabaUUrqrqrrqrrrqW002020444ˆ4dd52、任意电荷体系的静电场是保守场电荷体系由点电荷组成—场叠加原理ibaiibLaibLaiibLarErErErEdddd路径无关路径无关—保守性的表述二、静电场的环路定理)(0LrEd静电场强沿任意闭合路径的积分等于零L6二、高斯定理与环路定理完备描述静电场(对任意电场都成立))(01dSiSqSE(只对静电场成立))(0dLrE【思考】匀速运动电荷的电场是静电场吗？v+Q所以不是静电场！环路积分不为零，7§3.2电势差和电势babarEUUd静电场是保守场—定义电势差一、电势差电势的减少＝电场力作的功单位正电荷的电势能的差。把单位正电荷由点ab电场力作的功。8二、电势—把单位正电荷自该点移到电势零点，电场力作的功。把单位正电荷自电势零点移到该点—外力作的功。0)(pprEpUd00pU选p0点为电势零点：，则p点电势9电荷分布在有限范围—选无穷远为电势零点prdEpU)(通常选地球为无穷远电势零点。电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。电势零点的选择：【演示实验】高压带电操作10三、几种带电体的电势分布rqrrqrUr004d4)(21、静止点电荷的电势选无穷远为电势零点112、均匀带电球面的电势球面外点的电势等于处于球心的“点电荷”在该点的电势。球面内等电势,等于球面上的电势。rq0URRRrrqrrqRrRqrrqrrErUrRRrr,44,440)(000022dddd12RrrqRrrRRqrU,4,38)(022303、均匀带电球体的电势RqrRrrrqERrrRqrE,ˆ41,ˆ4120230122302138dd)(rRRqrErErURRr:RrRqU0423)0(球心：0rURqR134、无限长圆柱面(线电荷密度)的电势电势分布：选点为电势零点)(00rrpRrrE,20电场分布：RrE,0RrpRrpp0r0)ln(2dd)(:0000RrrRrErrrErURr)ln(2)(:000rrrrrErURrd14电势零点不能选在无限远！RrrrRrRrrU),ln(2),ln(2)(0000rr0R0rp015§3.3电势叠加原理注意：各电荷的电势零点必须相同。应用电场叠加原理证明：)()(00pUrErEpUiiippippddiiEE在电荷体系的电场中，某点电势等于各电荷单独在该点产生的电势的代数和iiUU161、点电荷体系niiirqpU104)(2、连续分布的电荷体系电荷体系rdqpU04)(dqpriqiqjdqprqROxp【例】均匀带电圆环轴线上的电势rqpU04)(dqqrd041220044xRqrqrdq18【例】两同心带电球面，求A，B，C点的电势。q1q2R1R2ABCrArBrCAAArqqrqrq02102014442021012144RqRqUUUCCC＝＋＝202012144RqrqUUUBBBB＝＋＝AAAUUU21＋＝单独在该点的电势的和!19§3.4电势梯度一、等势面电势相等的点组成的曲面。1、电场线与等势面处处正交，并指向电势降低的方向。2、两等势面相距较近处的场强大，相距较远处场强较小。等势面特征：20等势面电场线点电荷的等势面21+等势面电偶极子的等势面电场线22两相等点电荷的等势面等势面电场线23等势面电场线24等势面电场线平行板电容器25人心脏的等电势线，类似于电偶极子。26二、场强和电势的关系证明见力学§4.8由势能求保守力。电势梯度矢量：U静电场中某点的电场强度，等于该点电势的负梯度kzUjyUixUUE静电场强等于负电势梯度矢量。27U垂直于过该点的等势面，方向是电势升高最快的方向。U的基本特征：证明：垂直于等势面，和与等势面相切nˆkˆmˆnmkˆ,ˆ,ˆ以等势面U上p点为原点作直角坐标系UU+DUnˆkˆmˆP28nUnnUnmUmkUkUˆˆˆˆUU+DUnˆkˆmˆP垂直于过该点的等势面。U所以，电场线与等势面处处正交。两等势面相距较近处的场强大，相距较远处场强较小。因此29所以，的方向是电势升高最快的方向。UnUnUlUlUcosˆUU+DUnˆkˆmˆPlˆnUnUˆ电场线指向电势降低最快的方向。30【例】均匀带电球面，由电势分布求场强分布。场强沿径向只要计算径向分量0rURqRrrqRrRqrU,4,4)(00RrrqrqrRrRqrrrUE,44,04)(200031电荷的电量×该点的电势qUW＝“电荷与电场的相互作用能”§3.5电荷在外场中的静电势能【例】氢原子中电子的静电势能“电子与电场（质子）的相互作用能”原子核（质子）的电势：rerU04)(电子的静电势能：rerUeW024)()(＝32【例】电偶极子在均匀外电场中的电势能,（受力矩：）EpMEpW【思考】势能W随p的取向如何变化？-qEl+qlqp证明：cosdEllEUUqUqUUUq33§3.6电荷体系的静电能一、点电荷体系的相互作用能其中Ui为qi所在处，由qi以外的其它电荷所产生的电势。把n个静止点电荷从现有位置彼此分散到无穷远时，它们间的静电力所作的功，称为这n个点电荷间的相互作用能iniiUqW12134证明：1、n=2rqqrrqqWr02120214d4固定q1，把q2移到无限远电场力做的功rqUrqU0210124,4221121UqUqW写成对称形式即q2q1r1122qUqUW352、n=3q3q2q111333133222322111221qUqUqUqUqUqUW类推，得iniiUqW12133231223211131221qUUqUUqUU33221121qUqUqU36式中U为在带电体上，所有电荷在电荷元dq处的电势。二、连续分布的电荷体系的静电能—各电荷元间的静电相互作用能（带电体）＝qUWd21【思考】为什么不包括电荷元dq的自能？37Rq【例】均匀带电球体的静电能分割成同心薄球壳（dq）rdrdq)3(8)(2230rRRqrUqqrUWd)(21:点模型的发散困难RqW02203:电荷元dq的自能为零所在处的电势为,静电能为WR,0若q不变,0,0WR若不变,Rq02203RrrRqrRRq0232230d434382138【例】电子的经典半径cerecm022203另一种估算:m152020221082.244cmerrecmeccem15202107.1203cmerec39体系静电能=相互作用能＋自能三、连续带电体体系的静电能体系Q1Q2Q340§3.7静电场的能量均匀带电球面的静电能:)(d21球面qUWRq静电能贮存在电场中Ein=0VeVwWd在区域V中电场的能量：在真空中电场能量密度：220Ewe静电能贮存在哪儿？E=0)(0d421球面qRqRq028RqW02841RRqWd8d202用特例说明：VWwedd电场的能量密度：RqW028设电斥力作用RR+dR球壳(R,R+dR)内的静电能—减少的静电能：RqdR242202200ERqRRRRqd4d8220242Rq【例】对场能积分求均匀带电球体的静电能。【例】电容器储能drrRqrrrqrrRqrVEVERRRrRr000002010203442442d2d22d222d223022qqrUWd)(21与相同VwWed全空间dV43证明：由斯托科斯公式因域S任意，则0E)()(d)(dLSSErE0E附录：静电场环路定理的微分形式LdSESS是以L为边界的任意曲面0,10EE静电场是有源、无旋场：0