3.3.1几何概型(优质课两个)

（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.复习1.古典概型2.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数复习题：在0至10中，任意取出一整数，则该整数小于5的概率.问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability)，简称几何概型。特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同P(A)=构成事件A的测度(区域长度、面积或体积)试验的全部结果所构成的测度(区域长度、面积或体积)记为：几何概型的概率公式：mAPAm有限性等可能性几何概型古典概型同异ApA包含的基本事件的个数基本事件的总数mApAm等可能性无限性判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率（1）在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素,则的概率为（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上任取一点P，则的概率为3aa10PM（1）为古典概率模型,P（）=7/10（2）为几何概率模型,P（）=1/6是与长度有关的几何概型问题3a10PM口答：1.长度问题：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？基础训练：解：由题意可得故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：1()3mApAm设“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生3m1m1m2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.解：由题意可得从而：基本事件的全体对应的几何区域为面积为１的单位圆事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积１／２事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积３／８故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：设“豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A，“豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。1()2mApAm3()8mBpBm思考:在单位圆内有一点A，现在随机向圆内扔一颗小豆子。（1）求小豆子落点正好为点A的概率。（2）求小豆子落点不为点A的概率。结论：若A是不可能事件，则P(A)=0；反之不成立即：概率为0的事件不一定是不可能事件。若A是必然事件，则P(A)=1；反之不成立即：概率为1的事件不一定是必然事件。A链接3.体积问题：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.解：由题意可得则：基本事件的全体对应的几何区域为体积为1升的水事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：设“取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。1()10mApAm1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。(电台整点报时)解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]内因此由几何概型的求概率公式得：P（A）=（60-50）/60=1/6“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6提升训练：.31P析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：2.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。课堂小结•1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化•2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目•3.注意理解几何概型与古典概型的区别。•4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。mAPAm1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为()A.0.25B.0.5C.0.6D.0.75D当堂检测：A.B.C.D.无法计算343832B,322.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积为()3.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求|AM||AC|的概率.1/6[析]:如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处,使|AM||AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合几何概型的条件.1/6检测3：题组一：与长度有关的几何概型1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少_______.2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是__________.23161题组二：与角度有关的几何概型变1:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率.变2:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.432122题组三：与体积有关的几何概型1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_______.2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.612726例2:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？6.57.5x78y问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？xy例2:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区域面积？我们画一个与x、y有关系的图像例2:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为yABCD试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD111ABCDS事件A包含的区域为阴影部分S阴影部分=11171-=2228这是一个几何概型则，P(A)=ABCDS7=S8阴影部分3.3.2几何概型普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）第二课时复习回顾•1.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.•2.古典、几何概型的概率公式..、体积)D的测度(长度、面积、体积)d的测度(长度、面积(2)P(A)•3.古典、几何概型问题的概率的求解方法.的含义）、明确mn(nm)A(P)1(EX1.已知:公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站，求汽车在1~3分钟之间到达的概率。分析：将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1~3分钟是这一线段中的2个单位长度。解：设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A，则52513)A(P答：“汽车在1~3分钟之间到达”的概率为;52EX2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件。由几何概型的概率的公式，得10110..)A(P答:小杯水中含有这个细菌的概率为0.1;EX3.一张方桌的图案如图所示．将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率:（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域．4913292359问题1:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?21)A(P53)A(P•事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与黄色所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.21121)(P甲获胜若把转盘的圆周的长度设为1，则以转盘（1）为游戏工具时，以转盘（2）为游戏工具时，53153)(P甲获胜分析:上述问题中,基本事件有无限多个,类似于古典概型的“等可能性”还存在,但不能用古典概型的方法求解.几何概型的定义(重申与回顾)•如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.•几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）A。B(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个单点，那么甲获胜的概率是多少？问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?构成事件“甲获胜”的区域长度是一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=0(2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个单点，那么甲获胜的概率是多少？B。A构成事件“甲获胜”的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=1归纳(1)概率为0的事件不一定是不可能事件(2)概率为1的事件不一定是必然事件示例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。又因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答“等待的时间不超过10分钟”的概率为60501(),606PA示例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.16练习4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发生的概率P（A）=1/3。3m1m1m示例2已知:等腰直角三角形ABC中，