基本不等式精品教案

人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）1《§3.4.1基本不等式》的教学设计一、教材解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等关系与不等式”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。[来源:学科网ZXXK]二、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，但是在利用基本不等式求最值方面暴露对“一正”，“二定”，“三相等”不理解。三、教学目标知识目标：1.探索并了解基本不等式的证明过程；2.了解基本不等式的代数及几何意义；3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.能力目标：1.通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2.通过了解基本不等式的证明，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、合作探究、严谨论证的良好的学习习惯和勇于探索精神.重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的证明过程；难点：应用基本不等式2abab求最值四、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，通过设置的不同问题，引导学生层层递进，逐步加深对基本不等式的理解。在探究的过程中为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.五、教学过程：（一）创设情境、体会感知：第24届国际数学家大会于2002年8月在北京举行，大会会标看上去像一个旋转的风车，它的人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）2ADCBHFGE设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。2002年国际数学家大会会标赵爽弦图通过创设情境、体会感知，学生深切感受到会标背后的数学故事，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。探究1：观察：会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？【设计意图】1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。师：会标中含有怎样的几何图形构成？生：四个全等直角三角形围成正方形师：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？关于面积或者边长的。师：那么面积之间又有怎样的关系呢？师：在直角三角形AHD中，AH=a,DH=b,则AD=生:22baAD_______.1SABCD的面积正方形_______.2S四个直角三角形的面积有什么样的不等关系？与SS.3化？时，图像会发生怎样变当ba有什么样的关系？与s.4s人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）3师：独立完成上述三个问题，不会可以小组讨论。生：大正方形面积22ab，四个直角三角形面积2ab，并且22ab2ab。师：生：abba222（教师通过几何画板展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）结论：222abab（当且仅当ab时取等号）师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）生：由222abab，则2220abab2()0ab恒成立。则ab时取等号。探究2：小组合作：能否用不等式的性质进行证明？基本不等式(0,0)2ababab叫几何平均数叫算术平均数，ab2ba1.代数意义：几何平均数不大于算术平均数基本不等式有没有几何解释呢？【设计意图】用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。生：2(0,0)ababab当且仅当ab时取等号。师：很好，还可以写成(0,0)2ababab，小组合作能否用不等式的性质进行证明？化？时，图像会发生怎样变当ba220,0,2ababab当在中以a,b分别代替a,b能得到什么结果?22______________00abababab要证：只要证：只要证：只要证：（__-__)显然上式成立.人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）4生投影展示：要证2abab，只要证2abab，只要证20abab，只要证2()0ab，显然式子成立，当且仅当ab取等号。师：根据以上代数证明，同学们已掌握2abab成立的。我们通常记作：(0,0)2ababab这个不等式叫做基本不等式。叫几何平均数叫算术平均数，ab2ba。那位同学能说出基本不等式的代数意义？生：几何平均数不大于算术平均数探究3：如右图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa，BCb。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。①如何用a,b表示OD?OD=______②如何用a,b表示CD?CD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD你能利用这个图形，得出(0,0)2ababab的几何解释吗？【设计意图】对图形进一步分析，引导学生发现几几何不等式的几何意义，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。（学生口述证明过程，教师给以引导）证明：因为ACDBCD，所以CDab。由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为(0,0)2ababab显然不等式当且仅当点C与圆心结合，即当ab时，等号成立结论:（教师投影展示学生口述结果）几何解释为半弦不大于半径。独立思考，对比提升。填表比较：定理名称定理形示适用范围“=”成立条件注意从不同角度认识基本不等式ABDCO(0,0)ab人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）5牛刀小试，判断对错。【设计意图】通过填表对比，加深对重要不等式和基本不等式的理解，牛刀小试考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）初步运用，归纳提升师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题。结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.合作探究：结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大【设计意图】1．通过两种题型，培养学生的化归思想，提高解题能力。2．题型一由老师分析讲解板书，题型二由学生根据题型一分析小组合作探究。均成立。对任意abbaabbab2,2R,,a)1(22的。等号成立的条件是相同与两个不等式abbaabba22)2(22.20,032baabba则若.44.24,0)4(aaaaa则若y100.xxyxyxy题型一：若、为正数，且满足当、分别取什么值时取最小值，最小值是多少？10,xxx　变式1：已知求，当x为何值取最值，并求最值。最值。求改为中的：若将变式变式xxxx1,001213,,3xyxxx思考：若函数当为何值时，函数有最值，并求其最值。少？取最大值，最大值是多取什么值时分别、当为正数，且满足、题型二：若xyyxyxx.18y的最值。求：已知变式mn,8.0,01nmnm的最值。求且满足：若变式xyyxyx.1232,0,02人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）63.变式训练层层递进。巩固题型。师：此题做完你又有什么想法呢？生：和定积最大。（由上面的题引导学生会很快得出结论）师：由上面例题，同学们，能总结一下运用基本不等式解题需要满足的条件吗？（根据前面学习学生会说出至少两点）生：,ab都为正数，取最值的条件是ab师：例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？（通过教师引导学生会想到定值）生：有一个是定值。师：好，那我们给运用基本不等式满足的条件一个口诀吧？（生尝试去说，但不一定简便，但用自己的思维方式说印象会更深）师：一正、二定、三相等。师：那我们如何运用基本不等式都能求哪些最值得题型呢？下节课我们再研究。五、反思总结，培养能力1、本节课你学到了什么？2、你还有哪些疑问？【设计意图】通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。六、课后分层作业必做题P100A组第一题（1）、（2）。选做题若0x0.5,求函数y=x(1-2x)的最大值.【设计意图】巩固训练本节课学习内容并且给学生一个完整的独立思考，自主学习的机会。分层作业有利于因材施教。照顾各层次学生。人教版高中数学必修五3.4.1基本不等式（第一课时）7七、教学设计说明不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法。代数学通过图形展示，让学生自己找出不等式关系，从而引出结论。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的条件。最后用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程。两种方法就是希望学生真正理解公式的由来。从而能够灵活运用。基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，所以一道求最值的实际问题引导学生理解运用不等式需要注意的三点：一正、二定、三相等。为后面求最值的题型做了铺垫。课堂总结和课后作业都是给学生一个独立思考，理顺自己思路，回顾学习的内容，从而检验自己学习情况。