2019届高考数学专题十四-外接球总结-练习题及答案

1专题十四外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【答案】C【解析】162haV，2a，24164442222haaR，24πS，故选C．2．补形法（补成长方体）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【答案】9π【解析】933342R，24π9πSR．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC△满足6BABC，π2ABC，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外2接球的体积为（）A．8πB．16πC．16π3D．32π3【答案】D【解析】因为ABC△是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r，设外接球的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则1632ABCS△，3BD，由题设116336ABCVShh△，最大体积对应的高为3SDh，故223Rd，即2233RR，解之得2R，所以外接球的体积是3432ππ33R，故答案为D．一、单选题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．24πD．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：322222235R，则：23R，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πSR．本题选择B选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．28πC．44πD．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：232sin60r，则2r，设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327R，外接球的表面积24π28πSR．本题选择B选项．3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球的表面积为（）A．32πB．27πC．18πD．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球直径为32AC，外接球的表面积为24π18πR，故选C．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，4则该几何体外接球的面积为（）A．2πaB．22πaC．23πaD．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为2a的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223232RaaaaRa，所以该几何体外接球面积22234π4π3π2SRaa，故选C．5．三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，2BCBD，243ABCD，则球O的表面积为（）A．16πB．32πC．60πD．64π【答案】D5【解析】因为2BCBD，23CD，所以22222231cos2222CBD，2π3CBD，因此三角形BCD外接圆半径为122sinCDCBD，设外接球半径为R，则222=2+412162ABR，2=4π64πSR，故选D．6．如图1111ABCDABCD是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，1A，1B，1C，1D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．9π16B．25π16C．49π16D．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11AC，11BD，交点为M，连结SM，易知球心O在直线SM上，设球的半径ROSx，在1RtOMB△中，由勾股定理有：22211OMBMBO，即：222222xx，解得：98x，则6该球的表面积229814π4ππ816SR．本题选择D选项．7．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为12R，2ABAC，120BAC，则球O的表面积为（）A．16π9B．16π3C．64π9D．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC，设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：232sin120r，则2r，又22144RR，解得：2163R，则球的表面积2644ππ3SR．本题选择D选项．8．已知正四棱锥PABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（）A．18πB．86C．36πD．323π【答案】C【解析】7如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥PABCD的外接球心为O，底面正方形的边长为10，5EA，正四棱锥的体积为503，21501033PABCDVPE，则5PE，5OER，在AOE△中由勾股定理可得：2255RR，解得3R，34π36π3VR球，故选C．9．如图，在ABC△中，6ABBC，90ABC，点D为AC的中点，将ABD△沿BD折起到PBD△的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．7πB．5πC．3πD．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，8PCD△外接圆的圆心为1O，则1OO面PCD，∴四边形1OODB为直角梯形，由3BD，11OD，及OBOD，得72OB，∴外接球半径为72R，∴该球的表面积274π4π7π4SR．故选A．10．四面体ABCD中，60ABCABDCBD，3AB，2CBDB，则此四面体外接球的表面积为（）A．19π2B．1938π24C．17πD．1717π6【答案】A【解析】由题意，BCD△中，2CBDB，60CBD，可知BCD△是等边三角形，3BF，∴BCD△的外接圆半径233rBE，33FE，∵60ABCABD，可得7ADAC，可得6AF，∴AFFB，∴AFBCD，∴四面体ABCD高为6AF．设外接球R，O为球心，OEm，可得：222rmR……①，2226πEFR……②9由①②解得：198R．四面体外接球的表面积：2194ππ2SR．故选A．11．将边长为2的正ABC△沿着高AD折起，使120BDC，若折起后ABCD、、、四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．7π2B．7πC．13π2D．13π3【答案】B【解析】BCD△中，1BD，1CD，120BDC，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到3BC，再由正弦定理得到321sin120rr，见图示：AD是球的弦，3DA，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴32OM，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径．∴球的半径37142OD．该球的表面积为24π7πOD；故选B．12．在三棱锥ABCD中，6ABCD，5ACBDADBC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4343π24B．4343π6C．43π2D．43π【答案】D【解析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，10由条件，4ABCD，5BCACADBD，可知，ABC△与ADB△，都是等腰三角形，AB平面ECD，∴ABEF，同理CDEF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，推导出AGBCGD△≌△，可以证明G为EF中点，2594DE，3DF，1697EF，∴72GF，球半径743942DG，∴外接球的表面积为24π43πSDG．故选D．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616232sin60232r，则外接球的半径2232391221R，则外接球的表面积为24π4π2184πSR．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球11的表面积为________．【答案】32163π【解析】设正四棱锥的棱长为a，则2341634a，解得4a．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN△的内切圆，其中4MN，23PMPN．∴22PE．设内切圆的半径为r，由PFOPEN△△，得FOPOENPN，即22223rr，解得226231r，∴内切球的表面积为224π4π6232163πSr．15．已知三棱柱111ABCABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB，1AC，60BAC，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABCABC的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，2AB，1AC，60BAC，1121sin6032AA，12AA，2222cos60412BCABACABAC，3BC，设ABC△外接圆的半径为R，则2sin60BCR＝，1R，12∴外接球的半径为112，∴球的表面积等于24π28π．故答案为8π．16．在三棱锥ABCD中，ABAC，DBDC，4ABDB，ABBD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为_____．【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD，设ABACx，那么4DBDCx，ABBD，所以22ADABDB．由题意，体积的最小值即为AD最小，224ADxx，所以当2x时，AD的最小值为22，所以半径为2，故体积的最小值为82π3．