2017矩阵分析试卷严质彬

PageNo.1哈尔滨工业大学深圳研究生院2017年秋季学期期末考试试卷HITShenzhenGraduateSchoolExaminationPaperCourseName:矩阵分析Lecturer:严质彬QuestionOneTwoThreeFourFiveSixSevenEightNineTenTotalMark一、(20分)4][x表示所有次数小于4的实系数多项式的集合,它是上的向量空间(以多项式为向量).(1).写出一般向量空间基的定义;(2).证明向量组1)(,)(,1)(,1)(342321xxfxxfxxfxxf是4][x的一个基;(3).写处线性映射的定义;(4).定义映射44][][:xx如下:xdttfxfxxf0)(2)(dd))((,证明是线性映射;(5).写出线性映射的矩阵表示的定义;(6).求(4)中定义的线性映射在入口基和出口基都选为(2)中给出的基时的矩阵表示.二、(20分)(1).nm表示实数域上所有nm矩阵的集合.设nmBA,,写出A与B等价的定义;(2).设Axy,这里1010101210121A求可逆矩阵QP,使得经变量代换yQyxPx~,~后,y~和x~之间的关系是解耦的:即1~y只依赖于1~x,2~y只依赖于2~x,......这里nxxxx~~~~21,myyyy~~~~21.(3).设nnA,写出A的不变子空间的定义;(4)设11141A求出A的所有一维不变子空间.三、(10分)(1).什么是矩阵的行列式因子和不变因子?(2).什么是单位模阵?(3).求矩阵1200000022的Smith标准型.四、(10分)(1).写出两个矩阵相似的定义;(2).写出矩阵相似的三个等价条件;(3).求复数域上的矩阵123012001的Jordan标准型.五、(10分)(1).设V是实数域上的线性空间.写出V上的内积的定义;(2).设V是实内积空间,s,,,21是V中的一个向量组,写出该向量组的Gram矩阵的定义;(3).写出并证明实内积空间中的Cauchy-Schwartz不等式.六、(10分)(1).写出矩阵的正交-三角分解定理;(2).求矩阵1321的正交-三角分解.七、(10)(1).什么是正规矩阵?(2).写出关于正规矩阵的Schur定理;(3).证明Hermite矩阵的特征值都是实数.八、(10分)(1).什么是矩阵的奇异值分解?(2)定义映射22:如下xxy1011)(,证明单位圆周1:222121xxxxS在映射下的像)(S是椭圆,并求出该椭圆的长半轴和短半轴.StudentName:StudentID:Major:答题内容写在边线外视为无效