传热学课件-第三章-非稳定导热

第三章非稳态导热TransientConduction§3-1非稳态导热的基本概念一、非稳态导热的概念非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的过程。稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的过程。二、实例(汽轮机外壳)冷态启动前：tf1=tw1=tw2=tf2进汽后tf1内壁q1=h1(tf1-tw1)到某一时刻h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2)以后为稳态导热穿透时间：穿透深度：2.Biot准则定义：Bi=h/=(/)/(1/h)特征尺度厚度、半径物理意义：内部导热热阻与表面对流热阻之比。表征换热过程中各点温度趋于一致的能力准则数（特征数）：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲数•Bi导热热阻起决定作用，对流传热等待内部导热，故twt,实际成为第一类边界条件问题•Bi0导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi为有限大小，内外热阻共同起作用三、非稳态导热要解决的问题1.不同时刻各点的温度分布热应力2.达到稳定后某时刻所需的时间淬火过程3.传热量应用较少四、解的唯一性定理如果某一个函数t(x,y,z,)满足导热微分方程及一定的初始和边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。§3-2集总参数法的简化分析一般t=f(x,y,z,)•Bi0导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi=0内部温度一致，这时t=f(x,y,z,)中的空间坐标不再起作用，温度场变为t=f()，导热变成零维问题。•实际上，Bi不可能是零，但当Bi小到一定程度，就可以认为t=f()。•集总参数法（lumpedmethod或heatconductionwithnegligibleinternalresistance)忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。1.物理问题常物性、Bi0、h=const.求t=f()2.数学模型cztytxtat222222cddttthAtthAttVhAV零维问题无边界条件可用边界的传热作为源项来处理代入方程00tttthAddtVcVctthAddt及则令tt00ttVchAdd及3.求解00dtcVhAd00lncVhAcVhA0lncVhAe0BiFocVhAee00vFBiVAaAVahcVAAhVcVF00222特征尺寸AV)/(AVhBi2/AVaFo4.热量计算fehAehAhAtthAcVhABiF000累积传热量时传热量000000cVhAdehAcVhAdehAdtcVhAcVhacVhAcVhAcVhAecVecVecV1100005.集总参数法适用条件特征长度V/A•平板BiV=Bi圆柱BiV=Bi/2球BiV=Bi/3•M分别取平板1、圆柱1/2和球1/3•其实M=BiV/Bi数Biot1.0)/(体MAVhBiV)(平板厚度的一半平板AAAV222RRllRAV圆柱343/423RRRAV球6.时间常数ceeΘcVhA0为时间常数hAcVc36.8%05%cc3反映温度变化快慢的指标tgeddcc102/,,0tgc1,0,0,Θtgc02/,0c温度变化越慢例题3-1一直径为5cm的钢球，初始温度为4500C，忽然被置于温度为300C的空气中。设钢球表面与周围环境被置于温度为300C的空气中。设钢球表面与周围环境间的传热系数为24W/(m2.K)，试计算钢球冷却到3000C所需的时间。已知钢球的c=0.48kJ/(kg.K),=7753kg/m3,=33W/(m.K)。解：首先检验是否可用集总参数法。为此计算Bi数：0333.000606.0333025.024343423RhRRhAVhBiv可以采用集总参数法。据式(3-5)有4000001074.7exp3045030300CCCCtttt由此解得：hs158.057014221074.7025.0344807753025.0424scVhA例题3-2一温度计的水银泡呈圆柱状,长20mm,内径为4mm,初始温度为t0,今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度.设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h=11.63W/(m2.K),水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计,试计算此条件下温度计的时间常数,并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几?水银的物性参数如下:KmW36.10313110mgkKkgJkc138.0解:首先检验是否可用集总参数法.考虑到水银泡柱体的上端面不直接受热,故mRRllRAV32210953.0001.020.0202.0002.0205.01007.136.1010953.063.1133AVhBiV可以用集总参数法.时间常数为shAcVc14863.1110953.0138131103220AVcAVaFV32331089.110953.06051311010138.036.10133.002.2exp1089.11007.1expexp330VVFoBi即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%例题3-3一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv42422ddlldhAVhBiv05.0049.0025.03.03.050.03314024dlldh可以采用集总参数法.又dldlchAVchVchA24112310326.03.0005.077531048.0325.04140s342.0120030120080000tttt按式(3-5)210326.0exp342.0由此解得：s329§3-3一维非稳态导热问题的分析解一、无限大平板的非稳态导热1.物理问题：一维、常物性、无热源、h和t常数2.数学描述22xtat00,txt0,00xxtxtthxtx,tt引入过余温度tt00则txxt方程简化为:22xa00,x00xxhxx3.求解(分离变量法separationofvariables)xXx,有关仅与xxX有关仅与dxxdXx2222dxxXdxddX代入方程22xxXaTTxX令：AdxXdXdda211aAadd0则得bAXdxXd02从(a)知aAdTdTaATdd1lncaAaAcaAece11•如A=0则Γ与时间无关，常数与题不符•A0,,Γ,不可能故A只能是A0212ecA及方程(b)是一个特征方程xcxcxXsincos32各种坐标系都有此项022XdxXd其解为：于是得此问题的解：xcxcecxsincos,32123121ccBccA及令xBxAexsincos,2以上只是通解，要得出特解只有代入定解条件00xx及0cossin2xBxAexxAecos2xcossin22AheAecossinhBihhtgcossin，这是一个三角方程，解有无限多，这些解称为特征值xeAxmimmcos,2xeAxmmmmcos,210B0Be2及hBi解中系数由初始条件来确定：10cos0,nmmxAx内积分得并在两端同乘,0cosxndxxxAdxxmnnmncoscoscos0100xncos乘的目的在于利用三角级数的正交性时在nmdxxxmn0coscos0dxxAdxxmmm0200coscosdxxdxxAmmm0200coscosxdxxmmmsin1cos0dxxdxxmm2cos121cos002mmmmmxxcossin2122sin4120mmmmmmmmmAcossinsin2cossinsin200mm这里mmmmmmxexmcossincossin2,1022式中：称为准则数Foa2BiBitgmm则xBiFofx,,,0二、非稳态导热的正规热状况阶段•级数解的特点：一项比一项小，当Fo较大时，各项衰减很快。•当Fo0.2，只用级数的第一项，误差0.1%。以直角坐标为例111110cossincossin2,221xex此时，任意点的过余温度与中心点过余温度之比：xxxm1cos),0(,,比值与时间无关，取决于几何位置和边界条件正规热状况(regularregime)或充分发展阶段（fullydevelopedregime)111110cossincossin2,221xex111101cossinsin2AxU11cos/211m111meUA令：则)ln(lnAUm可见，当’时各点温度变化都有相同的斜率，对求导m加热或冷却速率传递热量•从初始到平衡时)(00ttcV•任意时刻111)()(1)(),(000000dVttttVdVttttttVttcVdVxttcXVV11)(11100sinsinsin211FoXedVt