一元二次不等式知识点归纳

一元二次不等式知识点归纳解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：A=0（或0）（a0）②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.0时，求根，ⅱ.=0时，求根＝＝，ⅲ.0时，方程无解，③写出解集。【典型例题】例1.解不等式（1）（2）（3）解：（1）因为。所以，原不等式的解集是。（2）因为。所以，原不等式的解集是。（3）整理，得。因为无实数解，所以不等式的解集是。从而，原不等式的解集是。例2.解关于x的不等式分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。解：（1）当有两个不相等的实根。所以不等式的解集是：（2）当有两个相等的实根，所以不等式，即；（3）当无实根所以不等式解集为。例3.若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。解：∵（∵4x2+6x+3恒正），∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k0对x取任何实数均成立。∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）0k2－4k+301k3。∴k的取值范围是（1，3）。小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分例4.已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－10的解集为R，求a的取值范围。分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a0且0。解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，即a－。∴a的取值范围是a∈（－，－）。说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。（想想为什么？）例5.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得∴。（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组: