4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)

九年级数学·下新课标[北师]第三章圆学习新知检测反馈定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半B1.求图中角X的度数AO.70°xCAO.X120°CDBX=X=35°120°课前复习定理同弧或等弧所对的圆周角相等2.求图中角X的度数60°xX=X=60°50°20°x30°ABCDEF∠ABF=20°，∠FDE=30°用心想一想，马到功成推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。答：结论不成立。请看图。AB12用心想一想，马到功成观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？ABCO答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°。图②BCAO观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？图③答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由∠BAC=90°可得圆心角∠BOC=180°。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径。由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。ABCOBCAO几何语言：∵BC为直径∴∠BAC=90°几何语言：∵∠BAC=90°∴BC为直径随堂练习小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？随堂练习如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长。ABCO解∵AB为直径∴∠BCA=90°在Rt△ABC中∠ABC=30°,AB=10cm∴cmABAC521议一议如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ABCOD解：∠BAD与∠BCD互补∵AC为直径∴∠ABC=90°,∠ADC=90°∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD与∠BCD互补议一议如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ABCOD解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD∵∵∠1+∠2=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD与∠BCD互补12221BAD121BCDABCODABCOD如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。ABCODABCOD如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？圆内接四边形的对角互补。几何语言：∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）想一想如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ABCODE解：∠A=∠CDE∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）∵∠BCD+∠DCE=180°∴∠A=∠DCE议一议在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.随堂练习在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数。解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）∵∠A:∠C=4:5∴即∠C的度数为100°10018095C1.要理解圆周角定理的推论。2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。习题3.5第1、2题如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数。ABCOD解：∵∠BOD=80°∴∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠C=180°∴∠C=180°-40°=140°4021BODDAB知识技能2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。ABCOD解：连接BC∵AB为直径∴∠BCA=90°∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°∴∠BCD=90°-15=75°∴∠BAD=∠BCD=75°知识技能2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。ABCOD解：连接OD∵∠ACD=15°∴∠AOD=2∠ACD=30°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°∴∠BAD=75°方法二：知识技能3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°,求∠A的度数。ABDOCEF解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）∵∠EDC+∠ADC=180°，∠EBF+∠ABE=180°∴∠EDC+∠EBF=180°∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°∴∠A=40°知识技能4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，且点O2在⊙O1上，点C是AO2B上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP。（1）根据题意将图形补充完整；（2）当点C在AO2B上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）..O1O2AB.CP.CP大小不变的角有：∠ACB∠APB∠BCP检测反馈1.(2014·台州中考)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是()解析:∵直径所对的圆周角等于直角,∴直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是B.故选B.B解析:∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B=60°，∴∠ADC=180°-∠B=180°-60°=120°，∵∠ADC+∠EDC=180°，∴∠EDC=180°-120°=60°.故选B.2.如图所示,四边形ABCD为圆内接四边形，E是AD延长线上一点，如果∠B=60°，那么∠EDC等于()A.120°B.60°C.40°D.30°BAC3.(2014·兰州中考)如图所示,△ABC为☉O的内接三角形，AB为☉O的直径,点D在☉O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于.解析:∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-54°=36°.故填36°.36°4.(2015·泰州中考)如图所示,☉O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于.解析:∵∠A=115°，∴∠C=180°-∠A=65°，∴∠BOD=2∠C=130°.故填130°.130°5.如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径,D为☉O上一点,OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证BD平分∠ABC；(2)当∠ODB=30°时,求证BC=OD.CDAD，1212证明:(1)∵OD⊥AC，OD为半径,∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC.(2)∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，又∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD.