【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数模型及其应用课件

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第12讲函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.常见函数模型一次函数模型y=ax+b(a≠0)反比例函数模型ky=(k≠0)x二次函数模型y=ax2+bx+c(a≠0)指数函数模型y=N(1+p)x(x>0,p≠0)(增长率问题)1.常见的几种函数模型常见函数模型对数函数模型y=blogax(x>0,a>0,且a≠1)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)对勾函数模型ay=x+(x≠0)x分段函数模型略(续表)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性单调________单调递增单调递增增长速度越来越快越来越____相对平稳图象的变化随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与____轴接近平行随n值变化而不同2.三种函数模型性质比较递增慢x1.某一种商品降价10%后,欲恢复原价,则应提价(A.10%B.9%C.11%D.1119%2.计算机的价格大约每3年下降23,那么今年花8100元买的一台计算机,9年后的价格大约是________元.)300DP=3.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.则:(1)总成本C(单位:万元)关于总产量x(单位:台)的函数关系式为____________________;C=200+0.3x(x∈N*)(2)单位成本P(单位:万元)关于总产量x(单位:台)的函数关系式为____________________;200x+0.3(x∈N*)(3)销售收入R(单位:万元)关于总产量x(单位:台)的函数关系式为____________________;R=0.5x(x∈N*)(4)利润L(单位:万元)关于总产量x(单位:台)的函数关系L=0.2x-200(x∈N*)式为____________________.4.已知函数y1=2x和y2=x2.当x∈(2,4]时,函数____________的值增长快;y2=x2当x∈(4,+∞)时,函数___________的值增长快.y1=2x考点1正比例、反比例和一次函数类的实际问题例1:(2013年广东佛山一模)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式为已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.S=3x+kx-8+5,0x6,14,x≥6.(1)求k的值;(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.解:(1)由题意,得L=2x+kx-8+2,0x6,11-x,x≥6.∵当x=2时,L=3,∴3=2×2+k2-8+2.解得k=18.(2)当0x6时,L=2x+18x-8+2,则L=2(x-8)+18x-8+18=-28-x+188-x+18≤-228-x·188-x+18=6.当且仅当2(8-x)=188-x,即x=5时取得等号.当x≥6时,L=11-x≤5.∴当x=5时,L取得最大值,最大值为6.答:当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万元.【规律方法】对勾函数fx=x+axa0是正比例与反比例函数的综合题型,解决这类问题首先考虑基本不等式,当基本不等式中等号不成立时要利用函数的单调性求最值,当然也可以利用导数求最值.【互动探究】1.(2014年广东广州水平测试)做一个体积为32m3、高为)B2m的无盖长方体的纸盒,用纸面积最小为(A.64m2C.32m2B.48m2D.16m2解析:底面积为16,设一底边长为x,则另一底边为16x,则用纸面积S=22×16x+2x+16=416x+x+16≥4×216x·x+16=48.故选B.考点2二次函数类的实际应用题例2:(2013年上海)如图2-12-1,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中角B为直角,AB长40m,BC长50m.现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.图2-12-1解:如图D6,设矩形为EBFP,FP长为xm,其中0x40,健身房占地面积为ym2.∵△CFP∽△CBA,∴FPBA=CFCB,即x40=50-BF50.求得BF=50-54x.从而y=BF·FP=50-54xx=-54x2+50x=-54(x-20)2+500≤500.当且仅当x=20时,等号成立.答:该健身房的最大占地面积为500m2.图D6【规律方法】二次函数是我们比较熟悉的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取一最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值在区间的端点处取得.另外在实际的问题中,还要考虑自变量为整数的问题.【互动探究】2.(2013年陕西)在如图2-12-2所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.图2-12-2答案:20解析:设矩形的高为h,有40-h40=x40,h=40-x,S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,即当边长x为20m时,矩形的面积最大.考点3分段函数类的实际问题例3:某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整,结果40天内全部销售完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图2-12-3,其中图(1)(一条折线)、图(2)(一条抛物线)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图(3)是每件样品的销售利润与上市时间的关系.图2-12-3(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系;(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明理由.解:(1)图(1)是两条线段,由一次函数及待定系数法,得f(t)=2t,0≤t≤30,-6t+240,30<t≤40.图(2)是一个二次函数的部分图象,由顶点式及图象过(0,0),得g(t)=-320t2+6t(0≤t≤40).(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)=3t,0≤t≤20,60,20<t≤40.故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)=3t-320t2+8t,0≤t≤20,60-320t2+8t,20t≤30,60-320t2+240,30t≤40.当0≤t≤20时,F(t)=3t-320t2+8t=-920t3+24t2,∴F′(t)=-2720t2+48t=t48-2720t≥0.∴F(t)在[0,20]上是增函数.∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)=6000<6300.当20<t≤30时,F(t)=60-320t2+8t.由F(t)=6300,得3t2-160t+2100=0.解得t=703(舍去)或t=30.当30<t≤40时,F(t)=60-320t2+240.由F(t)在(30,40)上是减函数,得F(t)<F(30)=6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元,为上市后的第30天.【规律方法】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起.要注意各段自变量的范围,特别是端点值.第1问就是根据图1和图2所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式;第2问先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.【互动探究】3.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(单位:吨).(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,则乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4,且5x4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x4时,则5x4,y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.∴y=14.4x,0≤x≤45,20.4x-4.8,45x≤43,24x-9.6,x43.(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增,∴甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨),付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=3×1.5=4.5(吨),付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).当x∈0,45时,y≤f4526.4;当x∈45,43时,y≤f4326.4;当x∈43,+∞时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.

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