高考调研：2014年高考复习专题 三角函数的值域与最值

课时作业新课标版·数学（理）高考调研专题研究三角函数的值域与最值课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1(1)求f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域．【解析】f(x)＝3sinx＋4cosx＝5(35sinx＋45cosx)＝5sin(x＋φ)，其中cosφ＝35，sinφ＝45，0φπ2.∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ.课时作业新课标版·数学（理）高考调研∴当x＋φ＝π2时，f(x)max＝5.当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4.∴f(x)的值域为[－4,5]．【答案】[－4,5]课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)设函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m(x∈R)．①化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；②若x∈[0，π2]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】①∵f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.课时作业新课标版·数学（理）高考调研②假设存在实数m符合题意．∵x∈[0，π2]，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]．∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋m＋1∈[m,3＋m]．又∵f(x)∈[12，72]，解得m＝12，∴存在实数m＝12，使函数f(x)的值域恰为[12，72]．【答案】①π②存在实数m＝12，使函数f(x)的值域恰为[12，72]课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究1化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1(2010·湖北卷)已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)＝(12cosx－32sinx)(12cosx＋32sinx)＝14cos2x－34sin2x＝1＋cos2x8－3－3cos2x8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos(2x＋π4)，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值22.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－π8，k∈Z}．【答案】(1)π(2)22{x|x＝kπ－π8，k∈Z}课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2求下列函数的值域：(1)y＝sin2xsinx1－cosx；(2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)∵y＝2sinxcosxsinx1－cosx＝2cosx1－cos2x1－cosx＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12，于是当且仅当cosx＝1时，ymax＝4.但cosx≠1，∴y4.且ymin＝－12，当且仅当cosx＝－12时取得．故函数值域为[－12，4)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝t2－12.∴y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，∴－2≤t≤2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)．从而知f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.则函数的值域为[－1，2＋12]．【答案】(1)[－12，4)(2)[－1，2＋12]课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2可化为y＝f(sinx)型三角函数的值域也可通过换元法转为其他函数的值域．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2(1)求函数y＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x的值域．【解析】原函数可化为y＝6cos4x－5cos2x＋1cos2x＝2cos2x－13cos2x－1cos2x.∴y＝3cos2x－1，(cos2x≠12)．∴－1≤y≤2，且y≠12.【答案】[－1，12)∪(12，2]．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)求f(x)＝cos2x＋asinx的最小值．【解析】f(x)＝1－sin2x＋asinx，令t＝sinx，t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋at＋1＝－(t－a2)2＋1＋a24.当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a.当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.【答案】当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a.当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3(1)求函数f(x)＝2－sinx2＋cosx的值域．(2)已知f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，求f(x)的值域．【解析】(1)函数f(x)＝2－sinx2＋cosx，可看作点(2,2)，(－cosx，sinx)两点连线的斜率．点(－cosx，sinx)的轨迹为x2＋y2＝1.课时作业新课标版·数学（理）高考调研函数值域即为(2,2)与单位圆x2＋y2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k.∴切线方程为y－2＝k(x－2)．即kx－y－2k＋2＝0.∴满足|2－2k|1＋k2＝1，解之得k＝4±73.∴函数f(x)的值域为[4－73，4＋73]．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)f(x)＝sinxsinx≤cosx，cosxsinxcosx.作出图像，由图像知，－1≤y≤22.课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究3借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．课时作业新课标版·数学（理）高考调研1.函数y＝sinxcosxtanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为①y＝Asin(ωx＋φ)＋B型；②y＝f(sinx)型．课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．－a2＋b2≤asinx＋bcosx≤a2＋b2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性．5．利用导数求三角函数的值域和最值．6．y＝asinx＋bccosx＋d型．(1)转化为Asinx＋Bcosx＝C型．(2)利用直线的斜率求解．7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．课时作业新课标版·数学（理）高考调研课时作业（二十六）