高考数学140分难点突破训练――圆锥曲线(含详解)

高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线1.已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率为255。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，0OAOB，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．2.设直线:1lyax与双曲线22:31Cxy相交于A,B两点，O为坐标原点.（I）a为何值时，以AB为直径的圆过原点.（II）是否存在实数a，使OAOB且(2,1)OAOB，若存在，求a的值，若不存在，说明理由.3.（理）设双曲线C：12222byax（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为aeb22求双曲线c的方程．（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．（1）求△ABC外心的轨迹方程；（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求dEF||的最大值．并求出此时b的值．4.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线1222yx于A、B两点，且)(21OBOAON（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且0ABCD，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？5.设cbxxxf)(（cb,为常数），若21)2(f，且02)(xxf只有唯一实数根（1）求)(xf的解析式（2）令)(,111nnafaa求数列na的通项公式。6.已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足MQPMPMCP21,0（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。7.设jiRyx,,,为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量8,)2(,)2(bajyixbjyixa且.(1)求点M（x,y）的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线l与曲线C的交于A、B两点，设OBOAOP，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.8.已知倾斜角为45的直线l过点1,2A和点B，点B在第一象限，32AB。（1）求点B的坐标；（2）若直线l与双曲线222:10xCyaa相交于,EF两点，且线段EF的中点坐标为4,1，求a的值；（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称PQ的最小值为P与线段AB的距离。已知P在x轴上运动，写出点,0Pt到线段AB的距离h关于t的函数关系式。9.如图，已知定点(1,0)F，动点P在y轴上运动，过点P作PMPF交x轴于点M，延长MP到N，使.PNPM⑴求动点N的轨迹C的方程；⑵设直线l与动点N的轨迹C交于A，B两点，若4.OAOB若线段AB的长度满足：46430AB，求直线l的斜率的取值范围。10.在OAB中,,4||||OBOA点P分线段AB所成的比为3,以OA、OB所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P.⑴求双曲线M的标准方程;⑵若直线)0(mkmkxy与双曲线M交于不同的两点E、F,且E、F两点都在以点)3,0(Q为圆心的同一圆上,求实数m的取值范围.NFPMOyx11.经过抛物线yx42的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.（1）若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；（2）若直线的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为51，试确定m的取值范围。12.一束光线从点)0,1(1F出发，经直线032:yxl上一点P反射后，恰好穿过点)0,1(2F．（Ⅰ）求点1F关于直线l的对称点1F的坐标；（Ⅱ）求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆C的方程；（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q到2F的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．13.已知椭圆E：2212516xy，点P(,)xy是椭圆上一点。（1）求22xy的最值。（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。14.已知椭圆的一个焦点)22,0(1F，对应的准线方程为249y，且离心率e满足32，e，34成等比数列.(1)求椭圆的方程；(2)试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线21x平分？若存在，求出l的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.15.已知向量(,3),(1,0),(3)(3)axybabab且.（Ⅰ）求点(,)Qxy的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点(0,1)A，当AMAN时，求实数m的取值范围。16.设直线)1(:xkyl与椭圆)0(3222aayx相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（I）证明：222313kka；（II）若OABCBAC求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.17.如图，已知⊙O：2228xy及点A2,0，在⊙O上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线OA′交于点P，若点A′取遍⊙O上的点.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点O的直线m与曲线C交于M、N两点,且ONOM,则当[6,)时,求直线m的斜率k的取值范围.18.如图，已知⊙O：2226403xymmm及点M60,3m，在⊙O上任取一点M′，连MM′，并作MM′的中垂线l，设l与OM′交于点P，若点M′取遍⊙O上的点.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线:(1)(0)lykxk与轨迹C相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若2,ADDBOAB求的面积取得最大值时的椭圆方程．19.点A、B分别是以双曲线162x1202y的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，0PFPA（1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。20.已知正方形的外接圆方程为22240xyxa，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；（2）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．答案：1.（1）设椭圆C的方程为222210xyabab．由题意可得：251,5cba，5a，2215xy（2）（1）当直线AB的斜率k存在时，设直线AB的方程为122,,,,ykxmxyBxy1设A2215xyykxm，2225110550kxkmxm1221051kmxxk2212121212yykxmkxmkxxkmxxm0OAOB，12120xxyy即22121210kxxkmxxm，22222221551005151kmkmmkk226550mk①又,,ODABDxy设，xky②又点,Dxy在直线AB上，ykxm2xmykxyy③把②③代入①得22226550xxyyy，22222650xyxyy点D的轨迹方程为22506xyy（2）当直线AB的斜率不存在时，30,06D，满足2256xy点D的轨迹方程为2256xy2.解（I）设1122(,),(,)AxyBxy由22221(3)22031yaxaxaxxy22212212248(3)0302323aaaaxxaxxa26a且23a，又以AB为直径的圆过原点.既2121212120(1)()10xxyyaxxaxx1a（II）1212yyaxx121212121(2,1)(,)(2,1)2yyOAOBxxyyxx2222112212121212()()()()0OAOBxyxyxxxxyyyy111022aa右准线l的方程为：x＝ca2，两条渐近线方程为：xaby．∴两交点坐标为caP2(，)cab、caQ2(，)cab．∵△PFQ为等边三角形，则有||23||PQMF（如图）．∴)(232cabcabcac，即cabcac322．解得ab3，c＝2a．∴2ace．（2）由（1）得双曲线C的方程为把132222ayax．把aaxy3代入得0632)3(2222axaxa．依题意0)3(2412032242,aaaa∴62a，且32a．∴双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为]4))[(1())(1()()(2122122212221221xxxxaxxayyxxl222242)3()1(2412)1(aaaaa∵aacbl1222．∴224222)3(1272)1(144aaaaa．整理得0102771324aa．∴22a或13512a．∴双曲线C的方程为：16222yx或115313511322yx．（文）（1）设B点的坐标为（0，0y），则C点坐标为（0，0y＋2）（-3≤0y≤1），则BC边的垂直平分线为y＝0y＋1①)23(3200xyyy②由①②消去0y，得862xy．∵130y，∴2120yy．故所求的△ABC外心的轨迹方程为：)22(862yxy．（2）将bxy3代入862xy得08)1(6922bxbx．由862xy及22y，得234x．所以方程①在区间34[，2]有两个实根．设8)1(69)(22bxbxxf，则方程③在34[，2]上有两个不等实根的充要条件是：．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222bbbfbbfbb之得34b．∵7232984)]1(32[4)(||222122121bbbxxxxxx∴由弦长公式，得721032||1||212bxxkEF又原点到直线l的距离为10||bd，∴71)711(73202732072320||222bbbbbdEF∵34b，∴41131b．∴当411b，即4b时，35||maxdEF．4.（1）设直线AB：2)1(xky代入1222yx得02)2()2(2)2(222kxkkxk（＊）令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根∴022k且2212)2(2kkkxx∵)(21OBOAON∴N是AB的中点∴1221xx∴2)2(2kkkk=1∴AB方程为：y=x+1