高考数学一轮单元复习：第45讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

│直线与圆、圆与圆的位置关系│知识梳理知识梳理1.直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法(或Δ法)：看由直线与圆的方程组成的方程组有无实数解。将直线l的方程与圆C的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程.①当Δ＞0时，方程有解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l与圆C；②当Δ＝0时，方程有解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线l与圆C；相交两唯一相切│知识梳理③当时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l与圆C。(2)几何法：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系。①如果，直线l与圆C相交；②如果，直线l与圆C相切；③如果，直线l与圆C相离。2.圆的切线方程求圆的切线方程的方法是：设出切线方程的点斜式方程.利用圆心到切线的距离等于半径求解。drΔ＜0相离drd＝r│知识梳理3.两圆位置关系的判定方法(1)几何法：利用圆心距与两半径的大小关系.设两圆圆心距为d，两圆半径分别为r1、r2，则dr1＋r2，；d＝r1＋r2，；，两圆相交；d＝|r1-r2|，；，两圆内含。(2)坐标法设两圆分别为圆O1、圆O2，试利用两圆的方程研究两圆的位置关系。两圆外离两圆外切|r1-r2|dr1＋r2两圆内切d|r1－r2|│知识梳理以O1为坐标原点，使x轴通过O1、O2，建立直角坐标系xOy(如图45－1).这样，可设O2的坐标为(d，0)，这时两圆的圆心距离等于|d|，两圆的方程分别为①②将①②两式联立，研究此方程组的解.如果方程组有解，且只有两解，这时相应的两圆。如图45－2.相交于两点22212222xyrxdyr│知识梳理图45－2如果方程组有唯一解，这时两圆。如图45－3.图45－3如果方程组无解，这时两圆。如图45－4.相切(外切或内切)外离或内含地理位置几何特征代数特征（方程联立）相离无实数解(Δ0)外切d＝R＋r相交R－rdR＋r内切一组实数解(Δ＝0)内含dR－r│知识梳理图45－4两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R、r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表表示：dR＋r一组实数解(Δ＝0)两组实数解(Δ0)d＝R－r无实数解(Δ0)│知识梳理4.圆系方程过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).①方程①是一个圆系的方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2.λ＝－1时，①式变为一直线：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0②若两圆相交，则方程②是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程②就是它们的公切线方程。│要点探究要点探究►探究点1直线与圆的位置关系例1[2009·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且│要点探究直线l1被圆截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。│要点探究【思路】(1)设出直线方程，利用点到直线的距离求得；(2)根据垂直关系设出两条直线的方程，然后利用弦长相等来求.【解答】(1)设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，由垂径定理，得：圆心C1到直线的l距离223412d│要点探究结合点到直线距离公式，得|－3k－1－4k|k2＋1＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或者k＝－724.所以直线l的方程为y＝0或y＝－724(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为：y－n＝k(x－m)，y－n＝－1k(x－m)，即：kx－y＋n－km＝0，－1kx－y＋n＋1km＝0.│要点探究因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理得：圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.故有，|－3k－1＋n－km|k2＋1＝，化简得(2－m－n)k＝m－n－3，或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因为关于k的方程有无穷多解，所以有或241511nmkkk2030mnmn8050mnmn│要点探究解之得点P坐标为或.313,2251,22【点评】研究直线与圆的相交弦长问题主要有两条途径：(1)利用特殊的直角三角形；(2)代入弦长公式d＝|x1－x2|求解．除直接求弦长外，还可以借助相交关系设置诸如定值等的综合问题．如下面变式题：21k│要点探究变式题[2009·上海卷]过圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心，作直线分别交x轴、y轴正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分(如图44－6所示)，若这四部分图形面积满足SⅠ＋SⅣ＝SⅡ＋SⅢ，则直线AB有()A.0条B.1条B.2条D.3条│要点探究【解答】B由已知，得SⅣ－SⅡ＝SⅢ－SⅠ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，所以SⅣ－SⅡ为定值，即SⅢ－SⅠ为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B.│要点探究►探究点2圆的切线问题例2已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标.【思路】(1)依据截距关系确定切线的斜率，设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求解；(2)首先确定P点的轨迹方程，从而确定|PM|最短时点P的坐标满足的关系式.│要点探究【解答】(1)∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1.设切线的方程为y＝x＋b或y＝－x＋b，由点到直线的距离公式解得切线的方程为：x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.(2)将圆的方程化成标准式(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心C(－1，2)，半径r＝2，∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2，又∵|PM|＝|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3＝0.|PM|最小时|PO|最小，而|PO|最小即O点到点P所在的直线2x1－4y1＋3＝0的距离，即3510.│要点探究从而得方程组解得满足条件的点P坐标为.2211119202430xyxy33,105【点评】圆的切线问题常用圆心到直线的距离等于半径解决；求过某点的圆的切线问题，首先确定定点与圆的位置关系，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，同时求解时应注意斜率不存在的直线.切线长、半径、点到圆心的距离以及点到切点的距离构成的图形是易考点，如下面变式题：│要点探究│要点探究变式题[2009·湖北卷]过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________.【思路】寻找出相关的直角三角形，解直角三角形即可.【答案】4│要点探究【解析】可得圆方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5，切线长为d＝25－5＝25，解直角三角形的线段PQ的长为d1＝2×25×55＝4.│要点探究►探究点3两圆的位置关系例3[2009·天津卷]若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦长为23，则a＝________.【思路】本题的关键是求得圆的公共弦方程.【答案】1│要点探究【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0，0)到直线的距离d＝为22－(3)2＝1，解得a＝1.11a【点评】(1)求解两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去二次项即可；(2)圆的公切线条数的关键是判断两圆的位置关系：当两圆内含时公切线有0条；当两圆内切时公切线有1条；当两圆相交时公切线条数为2条；当两圆外切时公切线有3条；当两圆相离时公切线有4条．│要点探究│要点探究变式题求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程.【思路】求出两圆的交点坐标，利用圆心到两交点的距离都相等于半径，求出圆心和半径，也可以利用两交点连结所得弦的垂直平分线与直线x＋y＝0的交点，就是圆心；还可以利用圆系，先设出过两圆点的圆的方程，再求系数.│要点探究【解答】方法一：解方程组得交点坐标分别为(0，2)，(－4，0)，设所求圆心坐标为(a，－a)，则有a2＋(－a－2)2＝(a＋4)2＋a2＝r，解得a＝－3，r＝10.因此所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.方法二：同方法一得已知两圆的交点坐标为(0，2)，(－4，0).设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，22222102402280xyxyxyxy│要点探究则有解得因此所求圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.方法三：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0.即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴(2λ－2)＋(2λ＋10)＝0，∴λ＝－2，∴圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.4201640022EFDFDE668DEF│要点探究►探究点4弦长、中点弦问题例4已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过P且被圆C截得的弦长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.│要点探究【解答】(1)解法一：如图45－7所示，AB＝43，D是AB中点，CD⊥AB，AD＝23，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离为|－2k－6＋5|k2＋(－1)2＝2，得k＝34，【思路】(1)借助于特殊三角形求解；(2)利用垂直关系得出中点轨迹.│要点探究又当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.当k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.解法二，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＝kx＋5，联立直线与圆的方程消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，①2245412240ykxyxy│要点探究设方程①的两根为x1，x2，由韦达定理得②③由弦长公式得1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝43.将②、③代入，解得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋20＝0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.∴所求直线的方程x＝0或3x－4y＋20＝0.122122241111kxxkxxk│要点探究(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即＝0.(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0.化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.ADPD【点评】(1)已知弦长求解直线方程与已知直线方程求弦长方法类似，用特殊三角形或直接代入弦长公式求得直线斜率即可；(2)求中点的轨迹方程常用的方法有：①借助中点坐标公式进行相关点代入；②圆中常借助于几何图形利用垂直等特殊位置关系结合向量直接求解.│要点探究│规律总结规律总结1.求圆的切线长、弦长问题用解直角三角形比较方便；最长弦为直径、最短弦是垂直于弦心距的弦；从圆外一点向圆引切线，切线长相等.2.判断直线和圆的位置关系