大学物理静电场练习题及答案

51/11练习题7-1两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?解:这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电qQ，两点电荷之间的库仑力为2041rqqQF由极值条件0ddqF，得Qq21又因为202221ddrqF0这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。7-2两个相同的小球，质量都是m，带等值同号的电荷q，各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：31022mglqx式中x为两球平衡时的距离。(2)如果l=1.20m，m=10g，x=5.0cm，则每个小球上的电荷量q是多少?(3)如果每个球以-19sC1001.的变化率失去电图7-43练习题7-2图荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少?解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有FTsinmgTcos由此二式可得mgFtan52/11因为很小，可有lx2tan，再考虑到2024xqF可解得31022mglqx（2）由上式解出C10382282130.lmgxq（3）由于tqqxtqqmgltxdd32dd322dd31310带入数据解得-13sm10401.合力的大小为2222201222412cos2dxxdxeFFFx23222043241dxxe令0ddxF，即有0482341825222232202dxxdxe由此解得粒子受力最大的位置为22dx53/117-4由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q和l均为已知，对图7-44中的P点(OP平行于正方形的一边)，证明当x»l时4043xplEp其中，p=ql称电偶极矩。解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题7-3可知3024lpEx左方向向下3024lpEx右方向向上其中，p=ql。P点处的合场强为3223332200022232444llllxlpppEEExxx左右由于x»l上式可简化为4034plEx方向向上证毕。llll+q+qP-q-qOx图7-45练习题7-4用图54/117-5如图7-46所示，长为l的细直线OA带电线密度为，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度：(1)为常量，且0；(2)=kx，k为大于零的常量，(0≤x≤1)。图7-46练习题7-5用图解：(1)将带电直线分割成无数个长度元dx，dx的坐标是x。它所带的电荷元dq=dx，dq在P点产生的电场强度的大小为20d41dbxxE因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为lbxxE020d41lbb1140lbbl04方向沿x轴的负方向。(2)同样取电荷微元dq=dx=kxdx20d41dbxxkxE同理lbxxkxE020d41bllblbkln40方向沿x轴的负方向。bxAOP55/117-6一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线．在弧线上取线元dl，其电荷lRQqdd，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度为020d41drERq因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有0dLxxEE点O的合电场强度为习题7-6用图sind41sind-d-20RqEEEELLLyy其中，负号表示场强方向与y方向相反。将lRQqdd，ddRl，带入上式，积分得20202022sin4RQRQE－负号表示场强方向与y方向相反56/117-7一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点P的电场强度；（2）当R→∞时，P点的电场强度为多少?（3）当x»R时，P点的电场强度又为多少?练习题7-7用图解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为3232222200d2dd44xSxrrExrxr于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为21220023220122RxxrxrdrxER（1）当R时，R»x。此时，上式可化为02E即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。（3）当x»R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为22200444RqExx57/117-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为1R和2R的球壳上分别带有电荷1Q和2Q，求：（1）I、II、III三个区域中的场强；（2）若1Q=－2Q，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线(即E－r关系曲线)。解：（1）在区域I，做半径为r﹤R1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理SdSE=iiq内01即0421rE可得区域I中的电场强度为E1=0在区域II，以12RrR为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，由高斯定理得SdSE=iiq0101224QrE由此可解得区域II的电场强度为12204QEr在区域III，做半径r﹥R2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可得SdS3E=iiq01021234QQrEE3=12204QQrR1R2Q1Q2IIIIII图7-47练习题7-8用图58/11（2）当1Q=－2Q时，根据以上结果易知区域I的场强为E1=0区域II的场强为12204QEr区域III的场强为E3=0根据上述结果可画出如图所示Er关系曲线。7-12水分子的电偶极矩为-306.1310Cm，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为6-110NC的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)?解：（1）由电偶极矩的定义epql得3011196.13103.8310(m)1.610eplq（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则19611195221.610103.83101.6107.6610(eV)AqqeElElEl022014rQrR2R1EE－r关系曲线59/117-13计算练习题7-8中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。解：（1）根据题7-8所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布，01E;12204QEr;2210341rQQE可得区域I的电势为121221211231122200dddddd44ErrRRrRRRRRUErErErQQQrrrr由此解得12101214QQURR区域Ⅱ的电势分布为2212223021ddd4ErRrrRQQUErErrR区域Ⅲ的电势分布为12330dd4ErrrQQUErr（2）若12QQ，则区域Ⅰ的电势为12122111231201012ddddd4114ErrRRrRRRRUErErErQrrQRR区域Ⅱ的电势为21220211dd4ErRrrQUErrRR1R2Q1Q2IIIIII60/11区域Ⅲ的电势为33dd0ErrrUEr7-14“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上带电量为+。试求其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为R的0P点为电势零点)解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为0(r＜R)E=rE02（r＞R）电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。选某一距带电直线为R的0P点为电势零点，如本题解图所示。当r＜R时0dd0RrpPUrErE这个结果可以一般地表示为当r＞R时rrrEUPPRrRrd2dd00rERrln2ln200rRln2061/117-16同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图7－49所示。设内圆柱体的电势为1U，半径为1R；外圆柱体的电势为2U，外圆柱体的内半径为2R，两圆柱体之间为空气。求内圆柱体的λ解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为。在内外圆柱体之间做半径r(12RrR)，长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为r处场强为02Er于是，两圆柱间电压为2121201dln2RRRUUUREr即12021ln/2RRUU)(①②R1R2图7-49练习题7-16用图