2013高考第一轮复习 专题2.4 幂函数与二次函数

总复习—幂函数与二次函数本节要求1了解幂函数的概念．常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图像与性质．2结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，的图像，了解它们的变化情况．3理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．4会求二次函数在闭区间上的最值．5能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．6三次函数的导函数是二次函数，有些复杂函数可通过换元化为二次函数，以y＝x，y＝x2，y＝x3，为例．知识梳理1．幂函数概念形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2．幂函数的图像3．幂函数的图像和性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点(1,1)(2)α0时,幂函数的图像通过原点,在区间[0,+∞)上是增函数(3)α0时幂函数的图像在区间(0,+∞)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴(4)当α为“奇数”时,幂函数为奇函数；当α为“偶数”时，幂函数为偶函数函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇5个具体幂函数的性质xyxyxy1(3)零点式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0);4．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图像定义域RR值域5．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)增减性在上单调减在上单调增在上单调增在上单调减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数对称性图像关于直线x＝－b/2a成轴对称图形a、b、c的作用a决定图像开口方向，a与b决定对称轴位置，c决定图像与y轴的交点位置，a、b、c决定图像的顶点题型一幂函数的定义例1已知f(x)＝(m2＋2m),m为何值时,f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？(5)在(4)的条件下，满足在(0，＋∞)上单调递增？12mmx?①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图像不可能在第四象限；③n＝0时，函数y＝xn的图像是一条直线；④幂函数y＝xn，当n0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；其中正确的是()A．①④B．④⑤C．②③D．②⑤例2下列命题：D解y＝xα在α0时，图像不过(0,0)，故①错，n＝0时，y＝x0表示除去(0,1)点的直线,故③错；y＝xn，在n0时是增函数没有指明单调区间，如y＝在(－∞，0)上是增函数是错误的，由幂函数的图像性质知②⑤正确．例3求函数y＝(m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性．12mmx例1题型二幂函数的图象和性质(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像，由f(x)＝g(x)得x＝±1.观察图像可知：①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．例2D∴(1－a)a(1－b)b.解由0ab1，可知ab,0a1，∴01－b1－a1，∴(1－a)b(1－a)a，例3已知对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1x2，幂函数f(x)＝(p∈Z)满足f(x1)f(x2)，并且对任意的x∈R，f(x)－f(－x)＝0.(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(x)＋(2q－1)x2＋1，问是否存在实数q(q0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在(－4,0)上是增函数？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．当p＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴p＝1，此时f(x)＝x4.解(1)∵幂函数f(x)＝(p∈Z)在(0，＋∞)上是增函数,∴－p2＋2p＋30,解得－1p3.又p∈Z,则p＝0或1或2.当p＝0或2时，f(x)＝x3不是偶函数；题型三求二次函数的解析式例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足abc，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是图中的（）∴图像开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点．A解∵abc且a＋b＋c＝0，∴a0，c0，b2－4ac0，例1．求函数f(x)＝x2＋2x－3－2≤x0x2－2x－30≤x≤3的值域．题型四二次函数的最值∴函数的最大值、最小值分别为0和－4，解作图像如图所示．∵f(－1)＝f(1)＝－4，f(－2)＝－3，f(3)＝0，f(0)＝－3，即函数的值域为[－4,0]例2设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式．f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2(1)当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝－2.(2)当t1时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数，则最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t－1；∴g(t)＝t2－2t0－20≤t≤1t2－2t－1t1(3)当t＋11时，即t0时，f(x)在区间[t，t＋1]是减函数，则最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2－2.例3已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．题型五“二次型”问题例3设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)0，f(1)0，求证：(1)a0且－2－1；(2)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．解∵f(0)0，f(1)0，∴c0,3a＋2b＋c0，消去b得ac0；再由条件a＋b＋c＝0，消去c得a＋b0且2a＋b0，∴－2－1.∵a＋b＋c＝0题型六恒成立问题例1函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立,求a的范围;(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围．解(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.例2若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－3C题型七根的分布例1(1)关于x的方程2x2－3x＋2m＝0有且仅有一根在[－1,1]内，求m的取值范围；(2)关于x的方程2x2－3x＋2m＝0两实根均在[－1,1]内，求m的取值范围．设f(x)=2x2－3x＋2m所以设f(x)=2x2－3x＋2m两个交点一个在原点右侧，一个在原点左侧．符合题意解(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为(1/3,0)，在原点右侧，符合题意．(2)当m≠0时，因为f(0)＝1所以抛物线过点(0,1)．若m0，f(x)的开口向下，若m0，f(x)的开口向上，例2已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．题型八综合问题f(0)=-a|a|≥1,所以-a0,即a0,因为a2≥1,所以a≤-1记f(x)的最小值为g(a),axaaxaxaaxxf22222)(32)3(3)(因为①a≥0时,f(-a)=-2a2,②a0时,f(a/3)=2a2/3所以g(a)=-2a2若xa,f(x)≥2a2/3若x≤a,f(x)≥2a22a2/3所以g(a)=2a2/3(2)求f(x)的最小值例设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|;(1)若f(x)≥1,求a的取值范围；