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§6.3梯形专题六多边形与平行四边形考点1梯形的有关概念定义一组对边________，另一组对边_________的四边形叫梯形等腰梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形梯形直角梯形有一个角是直角的梯形叫直角梯形平行不平行考点2等腰梯形轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴性质定理1等腰梯形同一底上的两________相等等腰梯形的性质性质定理2等腰梯形的对角线________底角相等判定方法(1)定义法；(2)同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形；等腰梯形的判定判定步骤(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形相等考点3梯形中常用的辅助线辅助线添加方法及目的图形平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形平移对角线移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形来研究梯形延长两腰延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形连结中点并延长连结梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线相交，可得一三角形，将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到同一直线上例1.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于点O.有下列四个结论：①AC=BD;②梯形ABCD是轴对称图形;③∠ADB=∠DAC;④△AOD≌△ABO．其中正确的是()(A)①③④(B)①②④(C)①②③(D)②③④【解析】选C.①,②显然是对的.△ABD≌△DCA,可以得到∠ADB=∠DAC,③也是对的.④是错的,没有全等的条件.例2(2010·台州中考)梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=2,∠B=60°,则下底BC的长是()(A)3(B)4(C)2(D)2+2【解析】选B.由题意可知四边形ABCD是等腰梯形，则∠B=∠DCB=60°,连接AC，∵DC=AD,∴∠DAC=∠DCA,∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB,∴∠ACB=∠DCA=30°,故∠CAB=90°,则BC=2AB=4.33例3.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC，∠D=90°,AD=DC=4,AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是()(A)2(B)4(C)8(D)1【解析】选A.连结BF,CF,作BG⊥CD于G,计算得:BC2=25,BF2=5,CF2=20.所以△BFC是直角三角形,于是点F到BC的距离==2.BFCFBC例4(2010·芜湖)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD于点O,AE⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为E、F,AD=4,BC=8，则AE+EF等于()(A)9(B)10(C)11(D)12【解析】选B.由已知条件知AE=DF，EF=AD=4.如图作DH∥AC交BC的延长线于点H，可以推出四边形ADHC为平行四边形、△DBH为等腰直角三角形.根据四边形ADHC为平行四边形得CH=AD，根据△DBH为等腰直角三角形得DF=BH，则DF=(AD+BC)=6,AE+EF=6+4=10.1212例5(2010·眉山中考)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3,则下底BC的长为____.3【解析】过点A作AE∥CD交BC于点E,∵AE∥CD,AD∥BC,∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE=4,∠AEB=60°.又∵∠B=30°,∴∠BAE=90°.在Rt△ABE中，∴BC=BE+CE=10.答案：10E1.(2013•六盘水)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于．192.(2012•咸宁)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为.3.(2012•巴中)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是.60°4.(2013•绵阳)下列说法正确的是（）A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形5.(2011•贵港)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点，EF⊥AD于点F,AD=4,EF=5,则梯形ABCD的面积是()A.40B.30C.20D.10C6.(2013•镇江)如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC,AE∥CD,∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2,则五边形ABCDE的面积等于．43137.(2013•玉林)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．（1）求证：四边形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD=15/2，求矩形EMCN的长和宽．长和宽分别为2，18.(2013•杭州)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．9.(2012•襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．10.(2012•鄂尔多斯)已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．