高考数学(人教a版-理科)题库：直线与圆锥曲线的位置关系(含答案)

第7讲直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离等于()．A.74B．2C.94D．4解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝kx－14，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点14，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋12＝4，故x1＋x2＝72，则弦AB的中点的横坐标是74，弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案C2．设斜率为22的直线l与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()．A.33B.12C.22D.13解析由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝b2a，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tanθ＝22＝|AF1||CF1|＝|BF2||CF2|，故|CF1|＋|CF2|＝22b2a＝|F1F2|＝2c，整理并化简得2b2＝2(a2－c2)＝ac，即2(1－e2)＝e，解得e＝22.答案C3．抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于()．A．7B．35C．6D．5解析点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案A4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝()．A．1＋22B．4－22C．5－22D．3＋22解析如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝2m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋2m－2a＝m，得m＝22a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－82)a2＝4c2，∴e2＝c2a2＝5－22，故应选C.答案C5．已知直线l：y＝k(x－2)(k0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是()．A.13B.223C．22D.24解析法一据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝22r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝|BD||AD|＝22.法二直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由y2＝8x，y＝kx－2，可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝8k，所以yB＝－8k，yA·yB＝－16，所以－2y2B＝－16，即yB＝±22.又k0，故k＝22.答案C6．过双曲线x2a2－y25－a2＝1(a0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是()．A．(2，5)B．(5，10)C．(1，2)D．(5,52)解析令b＝5－a2，c＝a2＋b2，则双曲线的离心率为e＝ca，双曲线的渐近线的斜率为±ba.据题意，2ba3，如图所示．∵ba＝e2－1，∴2e2－13，∴5e210，∴5e10.答案B二、填空题7．椭圆x22＋y2＝1的弦被点12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在椭圆上，∴x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.两式相减得：x1＋x2x1－x22＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即y1－y2x1－x2＝－x1＋x22y1＋y2，∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴y1－y2x1－x2＝－12，即直线AB的斜率为－12.∴直线AB的方程为y－12＝－12x－12，即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.答案2x＋4y－3＝08．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F(2，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析由题意，得c＝2，b2a＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝2，∴椭圆C的方程为x24＋y22＝1.答案x24＋y22＝19．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为－a2，a2，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝63.答案6310．已知曲线x2a－y2b＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP→·OQ→＝0(O为原点)，则1a－1b的值为________．解析将y＝1－x代入x2a－y2b＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2aa－b，x1x2＝a＋aba－b.OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以2a＋2aba－b－2aa－b＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以1a－1b＝2.答案2三、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA→·OB→的值；(2)如果OA→·OB→＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．(1)解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．∴若OA→·OB→＝－4，则直线l必过一定点．12．给出双曲线x2－y22＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则2x21－y21＝2，2x22－y22＝2，两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直线斜率k＝y1－y2x1－x2＝4.故求得直线方程为4x－y－7＝0.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得y1－y2x1－x2＝2xy，①由于P1，P2，P，A四点共线，得y1－y2x1－x2＝y－1x－2，②由①②可得2xy＝y－1x－2，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.考虑到方程组y＝2x－1，x2－y22＝1无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的．13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．(1)解双曲线C1：x212－y2＝1，左顶点A－22，0，渐近线方程：y＝±2x.不妨取过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为y＝2x＋22，即y＝2x＋1.解方程组y＝－2x，y＝2x＋1得x＝－24，y＝12.所以所求三角形的面积为S＝12|OA||y|＝28.(2)证明设直线PQ的方程是y＝x＋b.因为直线PQ与已知圆相切，故|b|2＝1，即b2＝2.由y＝x＋b，2x2－y2＝1得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2b，x1x2＝－1－b2.又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝22，则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx显然|k|22，则直线OM的方程为y＝－1kx.由y＝kx，4x2＋y2＝1得x2＝14＋k2，y2＝k24＋k2，所以|ON|2＝1＋k24＋k2.同理|OM|2＝1＋k22k2－1.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以1d2＝1|OM|2＋1|ON|2＝3k2＋3k2＋1＝3，即d＝33.综上，O到直线MN的距离是定值．14．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝2|DM|，点P在圆上运动．(1)求点M的轨迹方程；(2)过定点C(－1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使NA→·NB→为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝2y.∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4.∴x2＋2y2＝4，即x24＋y22＝1.点M的轨迹方程为x24＋y22＝1(x≠±2)．(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，联立方程组y＝kx＋1，x24＋y22＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，∴x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2.∴NA→·NB→＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2＝(1＋k2)×2k2－41＋2k2＋(k2－n)×－4k21＋2k2＋k2＋n2＝k24n－1－41＋2k2＋n2＝122k2＋14n－1－124n－1－41＋2k2＋n2