第一讲初高中数学衔接知识(数与式)

2020年7月7日星期二2020年7月7日星期二在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．2020年7月7日星期二一、乘法公式【公式1】平方差公式【公式2】完全平方公式222()2abaabb【公式3】完全立方公式33223()33abaababb【公式4】完全平方公式2222()222abcabcabbcca【例1】计算221(2)3xx222222224321:[(2)]3111()(2)()2(2)22(2)333822122.339xxxxxxxxxxxx解原式多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列22()()ababab请同学们证明2020年7月7日星期二一、乘法公式【公式5】立方和公式2233()()abaabbab【公式6】立方差公式2233()()abaabbab请同学们证明【例2】计算：2(1)(4)(164)mmm2211111(2)()()5225104mnmmnn42(3)(2)(2)(416)aaaa22222(4)(2)()xxyyxxyy333:464.mm解原式33331111:()().521258mnmn解原式=24222336:(4)(44)()464.aaaaa解原式=22222223326336:()()[()()]()2.xyxxyyxyxxyyxyxxyy解原式=在进行代数式运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．2020年7月7日星期二一、乘法公式【例3】计算：2331310,.xxxx已知求的值22222:31010311()(1)11()[()3]3(33)18.xxxxxxxxxxxxx解原式=(5)(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1)解法一：原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]=(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1解法二：原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-12020年7月7日星期二二、指数式,.nnanNaaaa个当时0,(1)1(0),nQaa当时零指数1(2)(0),nnaaa负指数(1),(2)(),(3)()(,0,,)mnmnmnmnnnnaaaaaabababmnZ幂的运算法则(4)am÷bn=am-n(a≠0,m,n是整数)2020年7月7日星期二三、根式式子叫做二次根式，性质：(0)aa22102300400()()(),()||,()(,),()(,).aaaaaabababbbabaa2020年7月7日星期二三、根式:(1)|32||31|23311,(1)(2)23(2)(2)=|1||2|.(1)(2)1(1x2)xxxxxxxx解原式=原式化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．2020年7月7日星期二三、根式222223(23)3(23):(1)633,23(23)(23)(2)=.2(3)=2222222232.abababababxxxxxxxxxxx解原式=原式原式2020年7月7日星期二四、分式2020年7月7日星期二四、分式22223961:2(3)(3)(39)(9)1613(3)(3)2(3)2(3)12(1)(3)2(3)(3)(3)3.2(3)(3)2(3)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解原式说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．2020年7月7日星期二总结乘法公式幂的运算二次根式的分母有理化分式与繁分式｝很重要