21.4 二次函数应用(第3课时)

22.5.3二次函数的应用中考题展示例1[2012·武汉]如图13－1，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－1128(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？图13－1(1)根据题意可得A，B，C三点坐标分别为(－8，8)，(8，8)，(0，11)，利用待定系数法，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，有8＝82×a＋c，11＝c，解方程组即可．(2)水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小于11－5＝6，解方程－1128(t－19)2＋8＝6即可．解析(1)依题意得顶点C的坐标为(0，11)，点B的坐标为(8，8)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，有8＝82×a＋c，11＝c，解得a＝－364，c＝11，∴抛物线解析式为y＝－364x2＋11.解(2)令－1128(t－19)2＋8＝11－5，解得t1＝35，t2＝3.画出h＝1－128(t－19)2＋8(0≤t≤40)的图象，由图象变化趋势可知，当3≤t≤35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32(小时)．答：禁止船只通行时间为32小时．利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．例2[2012·黄冈]某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其他销售条件不变)?(1)设商家一次性购买这种产品x件，销售单价为m元，则m＝3000－10×(x－10)，即m＝3100－10x，当m＝2600时，2600＝3100－10x，∴x＝50.∴商家一次购买这种商品50件时，销售单价恰好为2600元．(2)y＝（3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数）（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数）200x，（x＞50，且x为整数）即y＝600x，（0≤x≤10，且x为整数）－10x2＋700x，（10＜x≤50，且x为整数）200x.（x50，且x为整数）解(3)当0≤x≤10时，y随x的增大而增大，当x＝10时，y有最大值为6000元；当10＜x≤50，y＝－10x2＋700x，y＝－10(x－35)2＋12250，当x＝35时，y有最大值为12250元；当x＞50时，y随x的增大而增大，无最大值．综上所述，当商家一次性购买产品件数超过35件时，利润开始减少，要使商家一次购买的数量越多，公司所获利润越大，公司应将购买件数的底线放在35件，此时商品的单价为3100－10×35＝2750(元)．答：公司应将最低销售单价调整为2750元．二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．第13课时┃二次函数的应用探究三二次函数在几何图形中的应用命题角度：1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最大面积，最小距离等；2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．第13课时┃二次函数的应用例3[2013·广东]有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，在三角板DEF中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝43，将这副直角三角板按图13－2①所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．(1)如图②，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC＝________度；(2)如图③，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求EC的长；(3)在三角板DEF运动过程中，设BF＝x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围．图13－2(1)根据已知条件判断出△ABC和△DEF的形状，得到特殊角的度数，运用三角形的内角和定理求解；(2)在Rt△ACF中，运用三角函数关系求CF，再根据线段的和差关系求CE的长；(3)分三种情况讨论，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．解析(1)15°理由如下：三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.三角板DEF中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝43，∵tanE＝DFDE＝443＝33，∴∠E＝30°，∴∠EMC＝45°－30°＝15°，故答案为15°.解(2)由平移可知∠ACF＝∠E＝30°.在Rt△ACF中，cos∠ACF＝ACCF，∵AC＝6，∠ACF＝30°，∴CF＝632＝43.三角板DEF中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝43，由勾股定理得EF＝8，∴EC＝EF－CF＝8－43.(3)如图，分三种情况讨论：(ⅰ)当0＜x＜2时，作MG⊥AB于点G，设FG＝m，则BG＝MG＝x＋m.在Rt△MFG中，MG＝3FG，即x＋m＝3m，变形，得m＝3＋12x，∴S△BFM＝12·BF·MG＝（3＋3）x24.又S△BDN＝12·BD·DN＝（x＋4）22，∴两块三角板重叠部分的面积y＝（x＋4）22－（3＋3）x24＝－（1＋3）4x2＋4x＋8.(ⅱ)当2≤x＜6－23时，如图②，作MG⊥BA于G，设GF＝m，在Rt△GFM中，∠GFM＝60°，∴MG＝3m.在Rt△GBM中，∠GBM＝45°，∴MG＝BG.∴3m＝m＋x，∴m＝3＋12x，∴y＝S四边形ACMF＝S△ABC－S△BFM＝12AB·AC－12BF·MG＝12×6×6－12x3（3＋1）2x＝－3＋34x2＋18.(ⅲ)当6－23≤x≤6时，因为BF＝x，所以AF＝6－x，而AM＝3(6－x)，∴两块三角板重叠部分的面积y＝3（6－x）22＝32x2－63x＋183.综上，y＝－（1＋3）4x2＋4x＋8，（0＜x＜2）－3＋34x2＋18，（2≤x＜6－23）32x2－63x＋183.（6－23≤x≤6）二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题互相转化，充分运用三角函数解直角三角形、相似、全等、圆等知识来解决问题，充分运用几何知识求函数解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．当堂检测1．[2013·山西]如图13－3是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为________m.图13－3482．某工厂生产某品牌的护眼灯，并将护眼灯按质量分成15个等级(等级越高，灯的质量越好．如：二级产品好于一级产品)．若出售这批护眼灯，一级产品每台可获利21元，每提高一个等级每台可多获利润1元，工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯，每个等级每天生产的台数如下表所示：等级(x级)一级二级三级…生产量(y台/天)787674…(1)已知护眼灯每天的生产量y(台)是等级x(级)的一次函数，请直接写出y与x之间的函数关系式：____________；(2)若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产哪一等级的护眼灯，才能获得最大利润？最大利润是多少？(1)y＝80－2x(2)设所获利润为W元，W＝(80－2x)(x＋20)＝－2x2＋40x＋1600＝－2(x－10)2＋1800.∵a＝－2＜0，∴当x＝10时，W最大＝1800元．即当每天生产十级产品时，可获得最大利润1800元.解