2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用)：常考问题11 直线与圆

知识与方法热点与突破常考问题11直线与圆知识与方法热点与突破[真题感悟][考题分析]知识与方法热点与突破1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.知识与方法热点与突破2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2，－E2，半径为r＝D2＋E2－4F2；对于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF＞0.知识与方法热点与突破3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．知识与方法热点与突破5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．知识与方法热点与突破热点与突破热点一直线和圆的方程【例1】若一三角形三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．知识与方法热点与突破解析结合题意，易得三角形的三个顶点分别是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，即圆的直径为5，圆心坐标为2，32，故其方程为(x－2)2＋y－322＝54.答案(x－2)2＋y－322＝54知识与方法热点与突破[规律方法]求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用．知识与方法热点与突破【训练1】(2012·南通模拟)已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆x216＋y29＝1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为________．解析易得椭圆x216＋y29＝1的外切矩形的四个顶点(±4，±3)必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为x2＋y2＝25，可以验证过该圆上除点(±4，±3)的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆x216＋y29＝1的交点都各只有一个；故圆方程x2＋y2＝25.答案x2＋y2＝25知识与方法热点与突破热点二直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)．(1)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交．知识与方法热点与突破解(1)设点P的坐标为(x0，y0)，圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得PC21－r21＝PC22－r22，即[(x0－3)2＋(y0＋2)2]－4＝[(x0＋m)2＋(y0＋m＋5)2]－(2m2＋8m＋10)，化简得x0＋y0＋1＝0，因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为(0，－1)或(－1,0)；(2)依题意可设直线l的方程为：y＋2＝k(x－3)，k＞0，化简得kx－y－3k－2＝0，则圆心C2(－m，－m－5)到直线l的距离为|k－1|·|m＋3|k2＋1，知识与方法热点与突破又圆C2的半径为2m2＋8m＋10，所以“直线l与圆C2总相交”等价于“∀m≠－3，|k－1|·|m＋3|k2＋1＜2m2＋8m＋10”，即|k－1|k2＋1＜2m2＋8m＋10m＋32，①记y＝2m2＋8m＋10m＋32，整理得(y－2)m2＋2(3y－4)m＋9y－10＝0，当y＝2时，m＝－2；当y≠2时，判别式Δ＝[2(3y－4)]2－4(y－2)(9y－10)≥0，解得y≥1；综上得y＝2m2＋8m＋10m＋32，m≠－3的最小值为1，所以①式⇐|k－1|k2＋1＜1⇔k＞0，即证．知识与方法热点与突破[规律方法]根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．知识与方法热点与突破【训练2】平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．知识与方法热点与突破解(1)因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为12，所以圆O的半径为122＋622＝2，故圆O的方程为x2＋y2＝2.(2)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，由直线l与圆O相切，得|ab|a2＋b2＝2，即1a2＋1b2＝12，DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)1a2＋1b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.知识与方法热点与突破(3)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，－y1)，x21＋y21＝2，x22＋y22＝2，直线MP与x轴交点x1y2－x2y1y2－y1，0，m＝x1y2－x2y1y2－y1，直线NP与x轴交点x1y2＋x2y1y2＋y1，0，n＝x1y2＋x2y1y2＋y1，mn＝x1y2－x2y1y2－y1·x1y2＋x2y1y2＋y1＝x21y22－x22y21y22－y21＝2－y21y22－2－y22y21y22－y21＝2，故mn为定值2.知识与方法热点与突破热点三直线、圆与其他知识的交汇【例3】(2013·南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆x29＋2y29＝1的右顶点，点D(1,0)，点P，B在椭圆上，BP→＝DA→.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．知识与方法热点与突破解(1)因为BP→＝DA→且A(3,0)，所以BP＝DA＝2，而B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P(1,2)，B(－1,2)所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2)线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1，所以圆C的圆心为(0，－1)，且圆C的半径为r＝10，又圆心(0，－1)到直线BD的距离为d＝2，所以直线BD被圆C截得的弦长为2r2－d2＝42.知识与方法热点与突破(3)假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且PM＝PN.设M(0，b)，则N(2,4－b)，根据N(2,4－b)在直线y＝x－1上，解得b＝3.所以M(0,3)，N(2,1)，PM＝PN＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.知识与方法热点与突破[规律方法]求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB＝2r2－d2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．知识与方法热点与突破【训练3】如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN＝219时，求直线l的方程；(3)BQ→·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．知识与方法热点与突破解(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝219，∴AQ＝20－19＝1.知识与方法热点与突破由AQ＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴AQ→·BP→＝0∴BQ→·BP→＝(BA→＋AQ→)·BP→＝BA→·BP→＋AQ→·BP→＝BA→·BP→.当直线l与x轴垂直时，得P－2，－52.知识与方法热点与突破则BP→＝0，－52，又BA→＝(1,2)，∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由y＝kx＋2，x＋2y＋7＝0，解得P－4k－71＋2k，－5k1＋2k.∴BP→＝－51＋2k，－5k1＋2k.∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－51＋2k－10k1＋2k＝－5.综上所述，BQ→·BP→是定值，且BQ→·BP→＝－5.