2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用)：常考问题9 等差数列、等比数列

知识与方法热点与突破常考问题9等差数列、等比数列知识与方法热点与突破[真题感悟][考题分析]知识与方法热点与突破1．等差、等比数列的通项公式等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝amqn－m.知识与方法热点与突破2．等差、等比数列的前n项和(1)等差数列的前n项和为Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.特别地，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．(2)等比数列的前n项和Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，特别地，若q≠1，设a＝a11－q，则Sn＝a－aqn.知识与方法热点与突破3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有am＋an＝ap＋aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；在等比数列中，则有am·an＝ap·aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am·an＝a2p；(2)在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N*)；在等比数列{an}中，当q≠－1或k不为偶数时Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其中Sn为前n项的和(n∈N*).知识与方法热点与突破热点与突破热点一等差、等比数列中基本量的计算【例1】(2013·盐城模拟)设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn；(2)设数列{bn}满足bn＝2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn＞512.知识与方法热点与突破解(1)由{an}是公差不为0的等差数列，可设an＝a1＋(n－1)d，则由a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7，得a1＋d2＋a1＋2d2＝a1＋3d2＋a1＋4d2，7a1＋7×62d＝7，整理，得2a1d＋5d2＝0，a1＋3d＝1，由d≠0解得，a1＝－5，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－7，Sn＝na1＋nn－12d＝n2－6n.知识与方法热点与突破(2)由(1)得an＝2n－7，所以bn＝2an＝22n－7，又bnbn－1＝22n－722n－9＝4(n≥2)，b1＝2a1＝125，所以{bn}是首项为125，公比为4的等比数列，所以它的前n项和Tn＝1251－4n1－4＝13×25(4n－1)，于是由Tn＞512，得4n＞3×47＋1，所以n≥8时，有Tn＞512.知识与方法热点与突破[规律方法]求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择．知识与方法热点与突破【训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，1＋Sn是公比为2的等比数列．(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项；(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Tn，当n为何值时，有Tn≤2012?(1)证明由题意，得1＋Sn1＋Sn－1＝2(n≥2)，即1＋Sn＝4(1＋Sn－1)，同理，得1＋Sn＋1＝4(1＋Sn)．两式相减，得Sn＋1－Sn＝4(Sn－Sn－1)，即an＋1＝4an，an＋1an＝4(n≥2)．知识与方法热点与突破又a1＝3，所以{an}是首项为3，公比为4的等比数列，所以an＝3·4n－1＝3·22n－2.(2)解由(1)得an＝3·22n－2，所以bn＝log2(3·22n－2)＝log23＋2(n－1)，所以{bn}是首项为log23，公差为2的等差数列，前n项和为Tn＝nlog23＋n(n－1)，于是由n2＜nlog23＋n(n－1)≤2012，得n＜2012，又n∈N*，所以1≤n≤44，即n＝1,2,3，…，44时，Tn≤2012.知识与方法热点与突破热点二与等差、等比数列有关的最值问题【例2】等差数列{an}的首项是2，前10项之和是15，记An＝a2＋a4＋a8＋a16＋…＋a2n，求An及An的最大值．解设等差数列{an}的公差为d，由已知：a1＝2，10a1＋10×92d＝15，解得a1＝2，d＝－19，An＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n＝na1＋d[1＋3＋7＋…＋(2n－1)]＝na1＋d(2＋22＋23＋…＋2n－n)＝2n－192－2n＋11－2－n＝19(19n＋2－2n＋1)，知识与方法热点与突破求An的最大值有以下两种解法．法一数列{a2n}的通项a2n＝a1＋(2n－1)d＝19(19－2n)令a2n＝19(19－2n)＞0，得2n＜19(n∈N*)，由此可得a21＞a22＞a23＞a24＞0＞a25＞…，故使a2n＞0，n的最大值为4，所以(An)max＝19(19×4＋2－24＋1)＝469.知识与方法热点与突破法二由An＝19(19n＋2－2n＋1)，若存在n(n∈N*)，使得An≥An＋1，且An≥An－1，则An的值最大．1919n＋2－2n＋1≥19[19n＋1＋2－2n＋2]，1919n＋2－2n＋1≥19[19n－1＋2－2n]，解得9.5≤2n≤19(n∈N*)，取n＝4时，An有最大值(An)max＝19(19×4＋2－24＋1)＝469.知识与方法热点与突破[规律方法]上述两种求An最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a2n}．法二是研究An＝19(19n＋2－2n＋1)的单调性求其最值．知识与方法热点与突破【训练2】(2013·苏州期中)已知等差数列{an}的首项a1≠0，公差d≠0，由{an}的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝2，b3＝6.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的值；(3)求An＝Sn－2012n9的最小值．知识与方法热点与突破解(1)由a22＝a1a6，得(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，d2－3a1d＝0.又d≠0，所以d＝3a1，所以q＝4，所以abn＝a1·4n－1.又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1＋(bn－1)3a1，所以a1·4n－1＝a1＋(bn－1)3a1.因为a1≠0，所以3(bn－1)＋1＝4n－1，故bn＝4n－13＋23.知识与方法热点与突破(2)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝403＋23＋413＋23＋…＋4n－13＋23＝13(1＋4＋…＋4n－1)＋2n3＝13·1－4n1－4＋2n3＝134n－13＋2n.知识与方法热点与突破(3)由Sn＝134n－13＋2n，得An＝Sn－2012n9＝19(4n－2006n－1)，若存在n∈N*，使得An≤An＋1，且An≤An－1，则An的值最小．于是由194n－2006n－1≤19[4n＋1－2006n＋1－1]，194n－2006n－1≤19[4n－1－2006n－1－1]，解得20063≤4n≤4×20063(n∈N*)，取n＝5，(An)min＝29839.知识与方法热点与突破热点三等差、等比数列的探求问题【例3】已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，令bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．知识与方法热点与突破解(1)n＝1时，由a21＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d＝n＋nn－12d.于是由a2n＝S2n－1，得[1＋(n－1)d]2＝2n－1＋(2n－1)·(n－1)d，即d2n2＋(2d－2d2)n＋d2－2d＋1＝2dn2＋(2－3d)n＋d－1，所以d2＝2d，2d－2d2＝2－3d，d2－2d＋1＝d－1，解得d＝2.知识与方法热点与突破所以an＝2n－1，从而bn＝1an·an＋1＝12n－1·2n＋1＝1212n－1－12n＋1所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.(2)法一T1＝13，Tm＝m2m＋1，Tn＝n2n＋1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则m2m＋12＝13n2n＋1，即m24m2＋4m＋1＝n6n＋3.知识与方法热点与突破由m24m2＋4m＋1＝n6n＋3，可得3n＝－2m2＋4m＋1m2＞0，即－2m2＋4m＋1＞0，∴1－62＜m＜1＋62.又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．法二因为n6n＋3＝16＋3n＜16，故m24m2＋4m＋1＜16，即2m2－4m－1＜0，∴1－62＜m＜1＋62，(以下同上)．知识与方法热点与突破[规律方法]在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在．知识与方法热点与突破【训练3】设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3＝S6，a2＋2是a1，a13的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在m，k∈N*，使am＋am＋4＝ak＋2？说明理由；(3)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1－bn＝an，求数列{bn}的通项公式．知识与方法热点与突破解(1)设数列{an}的公差为d(d0)，依题意得43a1＋3×22d＝6a1＋6×52d，a1＋d＋22＝a1a1＋12d，解得a1＝1，d＝2或a1＝－14，d＝－12.∵d＞0，∴a1＝1，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝2n－1.知识与方法热点与突破(2)假设存在m，k∈N*，使am＋am＋4＝ak＋2，则2m－1＋2(m＋4)－1＝2(k＋2)－1，即2k－4m＝3，∴k－2m＝32，∵k，m∈N*，∴k－2m＝32不可能成立．故不存在m，k∈N*，使am＋am＋4＝ak＋2成立．(3)由题意可得b2－b1＝1，b3－b2＝3，…，bn－bn－1＝2n－3，将上面n－1个式子相加得bn－b1＝n－11＋2n－32＝(n－1)2.由b1＝－1得，bn＝n2－2n.