知识与方法热点与突破常考问题9等差数列、等比数列知识与方法热点与突破[真题感悟][考题分析]知识与方法热点与突破1.等差、等比数列的通项公式等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=amqn-m.知识与方法热点与突破2.等差、等比数列的前n项和(1)等差数列的前n项和为Sn=na1+an2=na1+nn-12d.特别地,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且常数项为0,即可设Sn=an2+bn(a,b为常数).(2)等比数列的前n项和Sn=na1,q=1,a11-qn1-q=a1-anq1-q,q≠1,特别地,若q≠1,设a=a11-q,则Sn=a-aqn.知识与方法热点与突破3.等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m+n=p+q,在等差数列中,则有am+an=ap+aq;特别的,若序号m+n=2p,则am+an=2ap;在等比数列中,则有am·an=ap·aq;特别的,若序号m+n=2p,则am·an=a2p;(2)在等差数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,其公差为kd;其中Sn为前n项的和,且Sn≠0(n∈N*);在等比数列{an}中,当q≠-1或k不为偶数时Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其中Sn为前n项的和(n∈N*).知识与方法热点与突破热点与突破热点一等差、等比数列中基本量的计算【例1】(2013·盐城模拟)设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项的和,满足:a22+a23=a24+a25,S7=7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn;(2)设数列{bn}满足bn=2an,其前n项的和为Tn,当n为何值时,有Tn>512.知识与方法热点与突破解(1)由{an}是公差不为0的等差数列,可设an=a1+(n-1)d,则由a22+a23=a24+a25,S7=7,得a1+d2+a1+2d2=a1+3d2+a1+4d2,7a1+7×62d=7,整理,得2a1d+5d2=0,a1+3d=1,由d≠0解得,a1=-5,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-7,Sn=na1+nn-12d=n2-6n.知识与方法热点与突破(2)由(1)得an=2n-7,所以bn=2an=22n-7,又bnbn-1=22n-722n-9=4(n≥2),b1=2a1=125,所以{bn}是首项为125,公比为4的等比数列,所以它的前n项和Tn=1251-4n1-4=13×25(4n-1),于是由Tn>512,得4n>3×47+1,所以n≥8时,有Tn>512.知识与方法热点与突破[规律方法]求等差、等比数列通项与前n项和,除直接代入公式外,就是用基本量法,要注意对通项公式与前n项和公式的选择.知识与方法热点与突破【训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,1+Sn是公比为2的等比数列.(1)证明:{an}是等比数列,并求其通项;(2)设数列{bn}满足bn=log3an,其前n项和为Tn,当n为何值时,有Tn≤2012?(1)证明由题意,得1+Sn1+Sn-1=2(n≥2),即1+Sn=4(1+Sn-1),同理,得1+Sn+1=4(1+Sn).两式相减,得Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1),即an+1=4an,an+1an=4(n≥2).知识与方法热点与突破又a1=3,所以{an}是首项为3,公比为4的等比数列,所以an=3·4n-1=3·22n-2.(2)解由(1)得an=3·22n-2,所以bn=log2(3·22n-2)=log23+2(n-1),所以{bn}是首项为log23,公差为2的等差数列,前n项和为Tn=nlog23+n(n-1),于是由n2<nlog23+n(n-1)≤2012,得n<2012,又n∈N*,所以1≤n≤44,即n=1,2,3,…,44时,Tn≤2012.知识与方法热点与突破热点二与等差、等比数列有关的最值问题【例2】等差数列{an}的首项是2,前10项之和是15,记An=a2+a4+a8+a16+…+a2n,求An及An的最大值.解设等差数列{an}的公差为d,由已知:a1=2,10a1+10×92d=15,解得a1=2,d=-19,An=a2+a4+a8+…+a2n=na1+d[1+3+7+…+(2n-1)]=na1+d(2+22+23+…+2n-n)=2n-192-2n+11-2-n=19(19n+2-2n+1),知识与方法热点与突破求An的最大值有以下两种解法.法一数列{a2n}的通项a2n=a1+(2n-1)d=19(19-2n)令a2n=19(19-2n)>0,得2n<19(n∈N*),由此可得a21>a22>a23>a24>0>a25>…,故使a2n>0,n的最大值为4,所以(An)max=19(19×4+2-24+1)=469.知识与方法热点与突破法二由An=19(19n+2-2n+1),若存在n(n∈N*),使得An≥An+1,且An≥An-1,则An的值最大.1919n+2-2n+1≥19[19n+1+2-2n+2],1919n+2-2n+1≥19[19n-1+2-2n],解得9.5≤2n≤19(n∈N*),取n=4时,An有最大值(An)max=19(19×4+2-24+1)=469.知识与方法热点与突破[规律方法]上述两种求An最值的方法都是运用函数思想.法一是直接研究子数列{a2n}.法二是研究An=19(19n+2-2n+1)的单调性求其最值.知识与方法热点与突破【训练2】(2013·苏州期中)已知等差数列{an}的首项a1≠0,公差d≠0,由{an}的部分项组成的数列ab1,ab2,…,abn,…为等比数列,其中b1=1,b2=2,b3=6.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)若数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的值;(3)求An=Sn-2012n9的最小值.知识与方法热点与突破解(1)由a22=a1a6,得(a1+d)2=a1(a1+5d),d2-3a1d=0.又d≠0,所以d=3a1,所以q=4,所以abn=a1·4n-1.又abn=a1+(bn-1)d=a1+(bn-1)3a1,所以a1·4n-1=a1+(bn-1)3a1.因为a1≠0,所以3(bn-1)+1=4n-1,故bn=4n-13+23.知识与方法热点与突破(2)Sn=b1+b2+b3+…+bn=403+23+413+23+…+4n-13+23=13(1+4+…+4n-1)+2n3=13·1-4n1-4+2n3=134n-13+2n.知识与方法热点与突破(3)由Sn=134n-13+2n,得An=Sn-2012n9=19(4n-2006n-1),若存在n∈N*,使得An≤An+1,且An≤An-1,则An的值最小.于是由194n-2006n-1≤19[4n+1-2006n+1-1],194n-2006n-1≤19[4n-1-2006n-1-1],解得20063≤4n≤4×20063(n∈N*),取n=5,(An)min=29839.知识与方法热点与突破热点三等差、等比数列的探求问题【例3】已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,令bn=1an·an+1,数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn;(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.知识与方法热点与突破解(1)n=1时,由a21=S1=a1,且a1≠0,得a1=1.因为{an}是等差数列,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d,Sn=na1+nn-12d=n+nn-12d.于是由a2n=S2n-1,得[1+(n-1)d]2=2n-1+(2n-1)·(n-1)d,即d2n2+(2d-2d2)n+d2-2d+1=2dn2+(2-3d)n+d-1,所以d2=2d,2d-2d2=2-3d,d2-2d+1=d-1,解得d=2.知识与方法热点与突破所以an=2n-1,从而bn=1an·an+1=12n-1·2n+1=1212n-1-12n+1所以Tn=b1+b2+…+bn=121-13+1213-15+…+1212n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.(2)法一T1=13,Tm=m2m+1,Tn=n2n+1,若T1,Tm,Tn成等比数列,则m2m+12=13n2n+1,即m24m2+4m+1=n6n+3.知识与方法热点与突破由m24m2+4m+1=n6n+3,可得3n=-2m2+4m+1m2>0,即-2m2+4m+1>0,∴1-62<m<1+62.又m∈N*,且m>1,所以m=2,此时n=12.因此,当且仅当m=2,n=12时,数列{Tn}中的T1,Tm,Tn成等比数列.法二因为n6n+3=16+3n<16,故m24m2+4m+1<16,即2m2-4m-1<0,∴1-62<m<1+62,(以下同上).知识与方法热点与突破[规律方法]在一定条件下,判断某种数学对象是否存在,解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的,然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去,如果畅通无限,则存在;如果推理过程中,有限或发生矛盾,则说明不存在.知识与方法热点与突破【训练3】设{an}是单调递增的等差数列,Sn为其前n项和,且满足4S3=S6,a2+2是a1,a13的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在m,k∈N*,使am+am+4=ak+2?说明理由;(3)若数列{bn}满足b1=-1,bn+1-bn=an,求数列{bn}的通项公式.知识与方法热点与突破解(1)设数列{an}的公差为d(d0),依题意得43a1+3×22d=6a1+6×52d,a1+d+22=a1a1+12d,解得a1=1,d=2或a1=-14,d=-12.∵d>0,∴a1=1,d=2.∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.知识与方法热点与突破(2)假设存在m,k∈N*,使am+am+4=ak+2,则2m-1+2(m+4)-1=2(k+2)-1,即2k-4m=3,∴k-2m=32,∵k,m∈N*,∴k-2m=32不可能成立.故不存在m,k∈N*,使am+am+4=ak+2成立.(3)由题意可得b2-b1=1,b3-b2=3,…,bn-bn-1=2n-3,将上面n-1个式子相加得bn-b1=n-11+2n-32=(n-1)2.由b1=-1得,bn=n2-2n.