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第20课时等腰三角形第20课时┃考点聚焦考点聚焦考点1等腰三角形的概念与性质考点聚焦归类探究回归教材定义有______相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：________________)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的______和底边上的高互相重合，简称“三线合一”两边1等边对等角中线第20课时┃考点聚焦拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃考点聚焦考点2等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：____________)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃考点聚焦考点3等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等60°3考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃考点聚焦考点4线段的垂直平分定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________________上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点______________的所有点的集合相等垂直平分线距离相等考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．等腰三角形的性质；2．等腰三角形“三线合一”的性质；3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质．探究一、等腰三角形的性质的运用归类探究第20课时┃归类探究例1．[2012•镇江]如图20－1，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究图20－1解析先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BFE.(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.∵∠GDF＝∠ADF，又∵∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，∴GD＝GF.由(1)得，DE＝EF，∴EG⊥DF.考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究方法点析(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换；(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：等腰三角形的判定．探究二、等腰三角形的判定第20课时┃归类探究例2．[2013•淄博]如图20－2所示，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.图20－2考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析先根据两直线平行内错角相等，得到∠DBC＝∠ADB.再根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，根据等量代换得到∠ABD＝∠ADB，最后根据等角对等边证得结论．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究方法点析要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；2．遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．探究三、等腰三角形的多解问题第20课时┃归类探究例3．[2012•广安]已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝1/2BC，则△ABC底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．60°C考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．如图①：AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC，∠ADB＝90°.∵AD＝12BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，即此时△ABC底角的度数为45°；考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析如图②，AC＝BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∵AD＝12BC，∴AD＝12AC，∴∠C＝30°.∴∠CAB＝∠B＝180°－∠C2＝75°，即此时△ABC底角的度数为75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.故选C.考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究方法点析因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：等边三角形的判定与性质的综合．探究四、等边三角形的判定与性质第20课时┃归类探究例4．[2011•绍兴]数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图20－3.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．图20－3考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB(填“”“”或“＝”)．＝考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE____DB(填“”“”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．＝考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析方法一：等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，且ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD；考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究解析方法二：在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，又∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.∴△EFC≌△DBE，∴DB＝EF，而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.∴AE＝DB.考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃归类探究方法点析等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．解析(3)1或3.考点聚焦归类探究回归教材教材母题等腰三角形中的边角计算第20课时┃回归教材回归教材如图20－5所示，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°.(1)求∠1和∠2的度数；(2)找出图中的等腰三角形，并说明理由．图20－5考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃回归教材解析(1)在△ABC中，∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，∠C＝36°，∠B＝72°，∴36°＋72°＋∠BAC＝180°.∴∠BAC＝72°，即∠BAD＋∠1＝72°，∵∠BAD＝36°，∴∠1＝36°.∵∠2是△ACD的外角，∴∠2＝∠1＋∠C＝36°＋36°＝72°.考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃回归教材解析(2)△ACD是等腰三角形．因为∠1＝∠C＝36°，所以AD＝CD.理由是：等角对等边．同样道理可知：△ABD、△ABC是等腰三角形．考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃回归教材中考预测1．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为()A．5B．7C．5或7D．62．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是()A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°BB考点聚焦归类探究回归教材第20课时┃回归教材解析1.①当3为底时，其他两边都为1，∵1＋1＜3，∴不能构成三角形，故舍去；②当3为腰时，其他两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7.故选B.解析2.①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°；②80°角是底角时，顶角为180°－80°×2＝20°.综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.故选B.考点聚焦归类探究回归教材