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第26课时矩形、菱形、正方形第26课时┃考点聚焦考点聚焦考点1矩形考点聚焦归类探究回归教材矩形定义有一个角是________的平行四边形叫做矩形矩形的性质对称性矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点定理(1)矩形的四个角都是______角；(2)矩形的对角线互相平分并且______推论在直角三角形中，斜边上的中线等于________的一半矩形的判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线______的平行四边形是矩形拓展(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(2)矩形的面积等于两邻边的积直角直相等斜边相等第26课时┃考点聚焦考点2菱形菱形定义有一组________相等的平行四边形是菱形菱形的性质对称性菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点定理(1)菱形的四条边________；(2)菱形的两条对角线互相________平分，并且每条对角线平分______________菱形的判定(1)定义法(2)四条边________的四边形是菱形(3)对角线互相________的平行四边形是菱形菱形面积(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两条对角线乘积的________邻边相等垂直一组对角相等垂直一半考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃考点聚焦考点3正方形正方形的定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质(1)正方形对边________(2)正方形四边________(3)正方形四个角都是________(4)正方形对角线相等，互相____________，每条对角线平分一组对角(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点正方形的判定(1)有一组邻边相等的矩形是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形平行相等直角垂直平分考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃考点聚焦判定正方形的思路图：考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃考点聚焦考点4中点四边形定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形常见结论顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是______顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是________顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是________顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是________顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是________菱形矩形正方形菱形菱形矩形考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．矩形的性质；2．矩形的判定．探究一、矩形的性质及判定的应用归类探究第26课时┃归类探究例1．[2012•扬州]如图26－1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E.求证：BE＝DE.图26－1考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析作CF⊥BE于F，得Rt△BCF和矩形FEDC，先证明△ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝CF即可．证明：如图，作CF⊥BE于F，∴∠BFC＝∠CFE＝90°.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠BED＝90°.考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析∴∠ABE＋∠A＝90°.而∠ABE＋∠FBC＝90°，∴∠A＝∠FBC.又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE＝CF.在四边形FEDC中，∠BED＝∠CFE＝∠CDE＝90°，∴四边形FEDC是矩形，∴CF＝DE.又∵BE＝CF，∴BE＝DE.考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究方法点析矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时也具有特殊的性质；同时，判定矩形的方法也是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后再判定是矩形．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．菱形的性质；2．菱形的判定．探究二、菱形的性质及判定的应用第26课时┃归类探究例2．[2013•盐城]如图26－2所示，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE＝AB.(1)求证：∠ABE＝∠EAD；(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．图26－2考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析(1)要证明∠ABE＝∠EAD，由AE＝AB可得∠ABE＝∠AEB，从而只要证明∠EAD＝∠AEB，显然由平行四边形ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质可证；(2)要证明四边形ABCD是菱形，而已知四边形ABCD是平行四边形，只要证明一组邻边相等即可．解:(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠EAD.考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解:又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠ABE＝∠EAD.(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE，∴∠ABE＝2∠DBC.∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．正方形的性质；2．正方形的判定．探究三、正方形的性质及判定的应用第26课时┃归类探究例3．[2013•鄂州]如图26－3所示，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．(1)求证：△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积．图26－3考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析(1)由四边形ABCD为正方形，得到AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，DC＝CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE＝BF，进而证明出两三角形全等；(2)首先求出DE和BF的长度，再根据S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF得出结果．考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB，∵E、F为DC、BC中点，∴DE＝12DC，BF＝12BC，∴DE＝BF，∵在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠B＝∠D，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析(2)由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝12×4＝2，CE＝CF＝12×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6.方法点析正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两种：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2．矩形、菱形、正方形的关系转化．探究四、特殊平行四边形的综合应用第26课时┃归类探究例4．[2012•娄底]如图26－4所示，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．图26－4考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析(1)证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°.∵M、N分别是AD、BC的中点，∴AM＝CN.∴△MBA≌△NDC.考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃归类探究解析(2)四边形MPNQ是菱形．理由：∵△MBA≌△NDC，∴BM＝DN.连接MN，则MN∥AB∥CD，得∠BNM＝∠DMN＝90°.∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PN＝MP＝12BM，MQ＝QN＝12DN，∴PN＝MP＝MQ＝QN.∴四边形MPNQ是菱形.考点聚焦归类探究回归教材教材母题中点四边形第26课时┃回归教材回归教材如图26－5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？图26－5考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃回归教材解析四边形EFGH是平行四边形．连接AC.在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC的中点，即EF是△ABC的中位线．所以EF∥AC，EF＝12AC.理由是：“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．”在△ADC中，同理可以得到HG∥AC，HG＝12AC.所以EF∥HG，EF＝HG.所以四边形EFGH是平行四边形．理由是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃回归教材点析中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原四边形的对角线互相相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线既相等又互相垂直时，中点四边形是正方形．考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃回归教材中考预测如图26－6所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图26－612考点聚焦归类探究回归教材第26课时┃回归教材解析∵E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，∴HE＝12AC＝4，HE∥AC，GF∥AC，∴HE∥GF，同理，HG∥EF，HG＝12BD＝3，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4＝12.考点聚焦归类探究回归教材