2 求解平衡问题的八种方法

方法技巧专题化系列之二求解平衡问题的八种方法一、合成、分解法二、图解法三、正交分解法四、三力汇交原理五、整体法和隔离法六、临界问题的常用处理方法——假设法七、相似三角形法八、正弦定理法•[典例1]如图2－3－13所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ，当竖直向下的力F作用在铰链上时，滑块间细线的张力为多大？一、合成、分解法•利用力的合成与分解解决三力平衡的问题，具体求解时有两种思路：一是将某力沿另两个力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力；二是某二力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力。•[典例2]如图2－3－15所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()A．F1先增大后减小，F2一直减小B．F1先减小后增大，F2一直减小C．F1和F2都一直减小D．F1和F2都一直增大二、图解法•在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。•[典例3]如图2－3－17所示，用与水平成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是()A．推力F先增大后减小B．推力F一直减小C．物块受到的摩擦力一直不变D．物块受到的摩擦力先减小后增大三、正交分解法•物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：Fx合＝0，Fy合＝0。为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则。图2－3－18•[典例4]一根长2m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图2－3－19所示，则关于直棒重心C的位置下列说法正确的是()A．距离B端0.5m处B．距离B端0.75m处C．距离B端√3/2m处D．距离B端√3/3m处四、三力汇交原理•物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力必为共点力。图2－3－19图2－3－20五、整体法和隔离法•选择研究对象是解决物理问题的首要环节。若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法。对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法。•[典例5]如图2－3－21所示，放置在水平地面上的质量为M的直角劈上有一个质量为m的物体，若物体在直角劈上匀速下滑，直角劈仍保持静止，那么下列说法正确的是()A．直角劈对地面的压力小于(M＋m)gB．直角劈对地面的压力大于(M＋m)gC．地面对直角劈没有摩擦力D．地面对直角劈有向左的摩擦力图2－3－24•[解析]方法一：隔离法•先隔离物体，物体受重力mg、斜面对它的支持力FN、沿斜面向上的摩擦力Ff，因物体沿斜面匀速下滑，所以支持力FN和沿斜面向上的摩擦力Ff可根据平衡条件求出。再隔离直角劈，直角劈受竖直向下的重力Mg、地面对它竖直向上的支持力FN地，由牛顿第三定律得，物体对直角劈有垂直斜面向下的压力FN′和沿斜面向下的摩擦力Ff′，直角劈相对地面有没有运动趋势，关键看Ff′和FN′在水平方向上的分量是否相等，若二者相等，则直角劈相对地面无运动趋势，若二者不相等，则直角劈相对地面有运动趋势，而摩擦力方向应根据具体的相对运动趋势的方向确定。•对物体进行受力分析，建立坐标系如图甲，因物体沿斜面匀速下滑，由平衡条件得支持力FN＝mgcosθ，摩擦力Ff＝mgsinθ。•对直角劈进行受力分析，建立坐标系如图乙所示，由牛顿第三定律得FN＝FN′，Ff＝Ff′，在水平方向上，压力FN′的水平分量FN′sinθ＝mgcosθ·sinθ，摩擦力Ff′的水平分量Ff′cosθ＝mgsinθ·cosθ，可见Ff′cosθ＝FN′sinθ，所以直角劈相对地面没有运动趋势，所以地面对直角劈没有摩擦力。•在竖直方向上，直角劈受力平衡，由平衡条件得：FN地＝Ff′sinθ＋FN′cosθ＋Mg＝mg＋Mg。甲乙•方法二：整体法•直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等、方向相反。而地面对直角劈的支持力、地面对直角劈的摩擦力是直角劈和物体整体的外力，所以要讨论这两个问题，可以以整体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持力，因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体处于平衡状态，所以竖直方向上地面对直角劈的支持力等于物体和直角劈整体的重力。水平方向上地面若对直角劈有摩擦力，无论摩擦力的方向向左还是向右，水平方向上整体都不能处于平衡状态，所以整体在水平方向上不受摩擦力，整体受力如图丙所示。•[答案]C丙六、临界问题的常用处理方法——假设法•运用假设法解题的基本步骤是：(1)明确研究对象；(2)画受力图；(3)假设可发生的临界现象；(4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。•[典例6]倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。现给A施以一水平力F，如图2－3－23所示。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A．3B．2C．1D．0.5图2－3－23七、相似三角形法•物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向。•[典例7]如图2－3－24所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一个劲度系数为k，自然长度为L(L2R)的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角。图2－3－24图2－3－25八、正弦定理法•三力平衡时，三力合力为零。三个力可构成一个封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可由正弦定理列式求解。•[典例8]一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30◦，如图2-3-26所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？图2－3－26图2－3－27