2层次分析法

1层次分析法(AHP)AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂(T·L·Saaty)教授首次提出来的。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。由于系统、简洁、实用，在社会、经济、管理等许多方面，得到越来越广泛的应用。21AHP方法的基本原理一、递阶层次结构模型首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次。同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型：①最高层。只包含一个元素，表示总目标层。②中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，称目标层。③最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层。31AHP方法的基本原理一、递阶层次结构模型层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系，则称为不完全层次关系。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。G…………C1C2……Cs总目标第1层子目标第n层子目标方案层)1(2g)1(1ng)1(1g)(1ng)(2ng)(nnng41AHP方法的基本原理一、递阶层次结构模型[例1]构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个：①实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。②科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。③优势发挥。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。④难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。⑤研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。⑥财政支持。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。51AHP方法的基本原理一、递阶层次结构模型综合评价科研课题A课题1……成果贡献B1人才培养B2可行性B3发展前景B4实用价值C1科技水平C2优势发挥C3难易程度C4研究周期C5财政支持C6经济效益C11社会效益C12课题N61AHP方法的基本原理二、判断矩阵及其特征向量AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和1之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。[例2]设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个重量比值gi/g1，gi/g2，gi/g3(i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体重量的判断矩阵。11121333212223313233///()//////ijggggggAagggggggggggg71AHP方法的基本原理二、判断矩阵及其特征向量设3个物体重量组成的向量为111121321222323132333/////////gggggggAGgggggggggggggg123(,,)TGggg11223333333ggggGgg3AGG根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量。81AHP方法的基本原理二、判断矩阵及其特征向量判断矩阵产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征值是否存在，是否为单根?111213111213121321222321222321233132333132333132///1//////1//////1aaaggggggggggAaaaggggggggggaaagggggggggg元素aij＞0（称为正矩阵），i,j=1,2,3，并且满足下列三个条件：1(1)1,(2),(3),,1,2,3ikiiijijjijkaaaaijkaa；91AHP方法的基本原理二、判断矩阵及其特征向量实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表。标度定义含义1同样重要两元素对某准则同样重要3稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8相邻标度中值表示相邻两标度之间折衷时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为l/aij1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。101AHP方法的基本原理二、判断矩阵及其特征向量[例3]设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a3315/14513/14/131A111AHP方法的基本原理三、判断矩阵的一致性定义1:设1(1)1,(2),1,2,,iiijjiaaijma；()0,ijmmAa，A如果满足下列二个条件：则称A为互反矩阵。定义2:设()0,ijmmAa，A如果满足下列三个条件：则称A为一致性矩阵。1(1)1,(2),(3),,1,2,,ikiiijijjijkaaaaijkmaa；121AHP方法的基本原理三、判断矩阵的一致性定理1(Perron):设()0,ijmmAa，A则：①A有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max定理2:设()0,ijmmAa，AA是互反矩阵。②A的属于max的特征向量X＞0①若max是A的最大特征值，则max≥m②若1,2,…,m是A的特征值，则,0ijijij③A是一致性矩阵的充分必要条件是max=m131AHP方法的基本原理三、判断矩阵的一致性定理2:设()0,ijmmAaA，A是一致性矩阵，则：①一致性正矩阵是互反正矩阵；②A的转置矩阵AT也是一致性矩阵；③A的每一行均为任意指定一行的正数倍数；④A的最大特征值max=m，其余特征值均为0；⑤若A的属于max的特征向量为TmxxxX),,,(21,(,1,2,,)iijjxaijmx有：产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定满足15/14513/14/131A,,1,2,3ikijjkaaijka；141AHP方法的基本原理三、判断矩阵的一致性尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验，使之达到满意的一致性标准。设判断矩阵A的全部特征值为：1=max，2，，m由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩阵理论有max21mmiiiammax2,||miim即为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取2max||.11miimCImm作为检验判断矩阵一致性指标。151AHP方法的基本原理三、判断矩阵的一致性C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此，必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率...CICRRI161AHP方法的基本原理三、判断矩阵的一致性用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R≤0.1时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。判断矩阵的一致性检验步骤是：第一步：求出一致性指标1.maxmmIC第二步：查表得到平均随机一致性指标R.I第三步：计算一致性比率IRICRC...当C.R≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵171AHP方法的基本原理四、判断矩阵求解判断矩阵A=(aij)m×m是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算。（1）根法第一步：计算A的每一行元素之积Mi第二步：计算Mi的m次方根ai第三步：对向量a=(a1,a2,…,am)T作归一化处理，1/miikkwaa令得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T第四步：求A的最大特征值maxmax1()1miiiAWmw181AHP方法的基本原理四、判断矩阵求解:（1）根法mmmmmmaaaaaaaaaA21222211121111112122122212mmmmmmmMaaaMaaaMaaa1122mmmmmaMaMaM1122///miimiimmmiiwaawaaWwaamax111112112max111max1,mmmmmmmmwawawawawwawawwmax,AWW11111212122222max12mmmmmmmmwwaaaaaa