《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 函数的平均变化率

本课时栏目开关填一填研一研练一练1.1.11．1.1函数的平均变化率【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1.1.11．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝，则当Δx≠0时，商fx0＋Δx－fx0Δx＝____叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的．2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义：ΔyΔx＝__________表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的.x1－x0f(x0＋Δx)－f(x0)ΔyΔx平均变化率fx2－fx1x2－x1斜率本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1[问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1探究点一函数的平均变化率问题1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值yC－yBxC－xB近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1问题2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子fx2－fx1x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月)．从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1问题3平均变化率有什么几何意义？答设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率．x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1跟踪训练1如图是函数y＝f(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f1－f－11－－1＝2－12＝12.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1x＋1，1x≤3.答案(1)12(2)34所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f2－f02－0＝3－322＝34.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为f3－f13－1＝32－122＝4；(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为f2－f12－1＝22－121＝3；本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为f1.1－f11.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为f1.001－f11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.小结函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1跟踪训练2分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．解自变量x从0变到1时，函数f(x)的平均变化率为1－3×1－1－01－0＝－3，自变量x从m变到n时，函数f(x)的平均变化率为1－3n－1－3mn－m＝－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1问题一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k，即一次函数的平均变化率是定值．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)s2(0)，则s1t0－s10t0s2t0－s20t0，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．小结平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，所以乙的经营成果比甲的好．本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.11．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．解析函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为f2－f12－1＝5－3×22－5－31＝－9.－9本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.12．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________．2本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.13.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．解析在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，乙但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)W2(t0－Δt)，即W1t0－W1t0－ΔtΔtW2t0－W2t0－ΔtΔt，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.11．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.本课时栏目开关填一填研一研练一练