《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 利用导数研究函数

1.3.2（一）1.3.2利用导数研究函数的极值(一)【学习要求】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1.3.2（一）1．极值的概念已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为．f(x)f(x0)极大值极大值点f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1.3.2（一）2．求可导函数f(x)的极值的方法(1)求导数f′(x)；(2)求方程的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0).f′(x)＝0大小不是极值本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）结论：问题1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x0和x0时均有f′(x)0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）例1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．解f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：由表可知：当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10.当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）小结求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）跟踪训练1求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值．解函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）探究点二利用函数极值确定参数的值问题已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？答解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）例2已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．解因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解之得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.小结(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）跟踪训练2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解方程组得，a＝－23，b＝－16.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）(2)由(1)可知f(x)＝－23lnx－16x2＋x.f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－x－1x－23x.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）探究点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）小结用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上为减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k0或－4＋k0(如图所示)本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效1.3.2（一）或即k－4或k4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.2（一）1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.2（一）2．下列函数存在极值的是()A．y＝1xB．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3解析A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－200.∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.2（一）3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1a2B．－3a6C．a－1或a2D．a－3或a6解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)0，解得a6或a－3.D本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.2（一）4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为_____________．解析y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)0，∴a－1.(－∞，－1)本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.2（一）5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－3令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2a2.－2a2本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.2（一）1．在极值的定义中