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本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.13．2.1复数的加法与减法【学习要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【学法指导】复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3.2.11．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝_________________，z1－z2＝.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝_______________．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3.2.12．复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为OZ→1，OZ→2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是_____，与z1－z2对应的向量是______.OZ→Z2Z1→本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1探究点一复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.提出问题：问题1两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1问题2当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？答一致．问题3它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1问题4实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．答满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1问题5类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．答(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1例1计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1小结复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1跟踪训练1计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．解(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1探究点二复数加减法的几何意义问题1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答如图，设OZ1→，OZ2→分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有OZ1→＝(a，b)，OZ2→＝(c，d)，由向量加法的几何意义OZ1→＋OZ2→＝(a＋c，b＋d)，所以OZ1→＋OZ2→与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1问题2怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中OZ1→对应复数z1，OZ2→对应复数z2，则Z2Z1→对应复数z1－z2.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)AO→表示的复数；(2)对角线CA→表示的复数；(3)对角线OB→表示的复数．解(1)因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA→＝OA→－OC→，所以对角线CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB→＝OA→＋OC→，所以对角线OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.小结复数的加减法可以转化为向量的加减法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1跟踪训练2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则AD→＝OD→－OA→＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，BC→＝OC→－OB→＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD→＝BC→，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.∴x－1＝1y－2＝－3，解得x＝2y＝－1，故点D对应的复数为2－i.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1探究点三复数加减法的综合应用例3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解方法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1②由①②得2ac＋2bd＝1，∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC→|＝|OA→|2＋|AC→|2－2|OA→||AC→|cos120°＝3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1小结(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效3.2.1跟踪训练3本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.求|z1－z2|.解由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.11．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于()A．0B.32＋52iC.52－52iD.52－32i解析z1＋z2＝(2＋12)－(12＋2)i＝52－52i.C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.12．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于()A．1＋iB．1＋3iC．－1－iD．－1－3i解析z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.13．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC→表示的复数为()A．2＋8iB．－6－6iC．4－4iD．－4＋2i解析BC→＝OC→－OB→＝OC→－(AB→＋OA→)＝4－4i.C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.14．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在()A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限解析∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.11．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.本课时栏目开关填一填研一研练一练