《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 数学归纳法应用举

2.3.22.3.2数学归纳法应用举例【学习要求】1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．【学法指导】通过对数学归纳法的学习，培养勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养思维的严密性．通过相互交流和讨论，增强团队合作意识，提高语言交流能力.本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.3.21．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．C本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.3.22．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.3.2解析因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.答案B本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.3.23．用数学归纳法证明3nn3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________________．解析n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．n＝3时是否成立本课时栏目开关试一试研一研试一试·双基题目、基础更牢固2.3.24．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是__________________．解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．(2k＋2)＋(2k＋3)本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2题型一用数学归纳法证明不等式例1已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1都成立．证明由bn＝2n，得bn＋1bn＝2n＋12n，所以b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12nn＋1成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2(1)当n＝1时，左边＝32，右边＝2，因为322，所以不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时不等式成立，即b1＋1b1·b2＋1b2·…·bk＋1bk＝32·54·76·…·2k＋12kk＋1成立．则当n＝k＋1时，左边＝b1＋1b1·b2＋1b2·…·bk＋1bk·bk＋1＋1bk＋1＝32·54·76·…·2k＋12k·2k＋32k＋2k＋1·2k＋32k＋2＝2k＋324k＋1＝4k2＋12k＋94k＋14k2＋12k＋84k＋1＝4k2＋3k＋24k＋1本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2＝4k＋1k＋24k＋1＝k＋2＝k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn＝32·54·76·…·2n＋12nn＋1对任意的n∈N*都成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2小结用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2跟踪训练1用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n21－1n(n≥2，n∈N*)．证明当n＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为1412，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k21－1k，则当n＝k＋1时，122＋132＋142＋…＋1k2＋1k＋121－1k＋1k＋12＝1－k＋12－kkk＋12＝1－k2＋k＋1kk＋121－kk＋1kk＋12＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2题型二利用数学归纳法证明整除问题例2求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2小结证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2跟踪训练2证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2题型三利用数学归纳法证明几何问题例3平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝nn－12.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2(2)假设n＝k时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2小结用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2跟踪训练3有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即当n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．本课时栏目开关试一试研一研研一研·问题探究、课堂更高效2.3.21．数学归纳法证明与自然数相关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和实际问题确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.本课时栏目开关试一试研一研