14-Copula函数及其应用[金融计算与建模]

第14章Copula函数及其应用清华大学经管学院朱世武[e-mail]样本数据：论坛：组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引起的风险。要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。Copula是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。Copula函数定义1n维Copula函数，满足：(1)，若中至少有一个分量为0，则；若中除外的分量均为1，则；(2)，若，则，其中：(14.1):[0,1][0,1]nC[0,1]nu()0Cuuku()kCuu,[0,1]nabab([,])0CVab121121111111([,])()()()(,,,,,,)(,,,,,,)nnnnkkbbbbbCaaaaabakkknkkknVabCtCtCtCttbttCttatt定义2n维函数为Copula函数，若对n个服从均匀分布的随机变量，满足：(14.2)即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。:[0,1][0,1]nC12,,,nUUU121122(,,,)[,,,]nnnCuuuPUuUuUuCopula函数的性质引理1随机变量有连续分布函数F，则Z=F(X)在[0,1]上均匀分布。定理2（Sklar定理）设随机变量的边际分布函数为，联合分布函数为F。则有n维Copula函数，使得对于所有，有：(14.3)1,,nXX1,,nFFRnx11()((),,())nnFxCFxFxCopula函数的一些其他性质：性质1C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递减，即，若，则：(14.4)性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数，则对于每个，有：(14.5)其中(14.6)[0,1]nv()(,),1,jjjjCvCvvvvjI[0,1]nv()()()nnWvCvMv1212()max(1,0)()min(,,,)nnnnWvvvvnMvvvv性质3（递增变化不变性）随机变量向量有Copula函数。为一族严格递增函数。则仍是的Copula函数。1(,,)nXXX()Cu:RRif()Cu11((),,())nnXfXfX常见Copula函数乘积Copula函数定义3满足的Copula函数称为乘积Copula函数。乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。定理3令为连续随机变量，则彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数。12()nnvvvv12,,,nUUU12,,,nUUUnC正态Copula函数定义4正态分布随机变量的均值分别为，方差分别为，协方差矩阵为R，则随机变量的分布函数为Copula函数，称为协方差矩阵为的正态（Gauss）Copula函数。（为标准正态分布函数）1,,nXX1,,n1,,n:(),iiiiXUiI1(,,)RnCuut-分布Copula函数t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。定义5正态分布随机变量的均值分别为0，方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为分布随机变量，自由度为，与独立。则随机变量的分布函数为Copula函数，称为自由度为，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。1,,nXX21(,,)nXX(),iiUtXiIY,1(,,)RnCuuArchimedeanCopula函数定义6ArchimedeanCopula函数可表述为如下形式：(14.7)其中函数，函数称为Copula函数的生成元。生成元并非任意，必须满足的导数随维数n的增加而收敛。如果是在任何维数下的可容许生成元，必须是一个Laplace变换。:[0,1][0,1]nC[1]1()(())IiiCxx:[0,1]R,(1)0,(0)[1](R)[1](R)定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为，密度函数，则有：（1）Y的Laplace变换定义为：(14.9)（2）令，若解存在，的Laplace逆变换定义为函数满足：(14.10)（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。()Gy()gy00():[]()():(),0tYtytyYgLtEeedGyegydyLtt:R[0,1]1L:R[0,1]0():()(),0tyLteydytt几种不同生成元的Copula函数：定义9（1）ClaytonCopula:(14.11)（2）GumbelCopula:(14.12)（3）FrankCopula:(14.13)(14.14)1[1]()(1),()(1),0ttss1[1]()(ln),(),1sttse1()ln,1tete[1]1()ln[1(1)],\{0}ssee运用Copula函数的相关性度量运用Copula函数能对非线性相关性进行度量，其思想主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为Kendall’stau和Spearman’srho。定义10（一致性）令为向量X，Y的两组观测。若，则称与一致。若，则称为不一致。(,),(,)iijjxyxy)()0ijijxxyy(,)iixy(,)jjxy)()0ijijxxyyKendall’stau定义11令为连续随机变量(X，Y)n组观测的随机样本，则有对不同的数组对设c表示一致的数组对对数，d表示不一致的数组对对数，则。Kendall’stau定义为:(14.15)根据上述定义，t即为数组对一致与不一致的概率之差。1122{(,),(,),,(,)}nnxyxyxyn2{(,),(,)}iijjxyxy2()ncd2()/()ncdtcdcd{(,),(,)}iijjxyxy将Kendall’stau引入Copula函数：定理4连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则(X，Y)的Kendall’stau为：(14.16)若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：(14.17)2,[0,1]4(,)(,)1XYCCuvdCuv2,[0,1]4(,)(,)14[(,)]1XYCuvdCuvECUV下面讨论如何计算Kendall’stau：2211[0,1]002110011000(,)(,)(,)(,)(,)((,))(,)(,)(,)((,))uuCuvCuvdCuvCuvdudvuvCuvCuvdudvuvCuvCuvCuvCuvdudvvuv111001100(,)(,)()1(,)(,)2CuvCuvvdudvuvCuvCuvdudvuvSpearman’srho定义12设连续随机变量彼此独立，且每组之间的联合分布均为H，的边际分布均分别为F,G。则Spearman’srho定义为：(14.21)112233(,),(,),(,)XYXYXY,,1,2,3iiXYi,iiXY,121312133([()()0][()()0])XYPXXYYPXXYY定理5连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y的Spearman’srho为：(14.22)若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：(14.23)这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。此外，即可将理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平均距离。22,[0,1][0,1]12(,)312(,)3XYCuvdCuvCuvdudv2,[0,1]()()()12(,)312()3()()XYEUVEUEVuvdCuvEUVVarUVarV22,[0,1][0,1]12(,)312(,)3XYCuvdCuvCuvdudv,XYKendall’stau及Spearman’srho作为度量相关性指标的合理性定义13对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量，必须满足：（1）对有定义；（2）（3）（4）若X,Y独立，则（5）（6）若满足，则（7）若是一列连续随机变量，有Copula函数，则(,)XY,,,11,1,1XYXXXX,,XYYX,0XY,,,XYXYXY12,CC12CC12CC{(,)}nnXYnCClimnCCn定理6若为连续随机变量，Copula函数为，则Kendall’stau和Spearman’srho满足定义13所述要求。Kendall’stau与Spearman’srho的关系定理7X,Y为连续随机变量，分别为Kendall’stau与Spearman’srho，则有：,223112,0222113,022Copula函数与尾部相关性设X,Y在[0,1]上均匀分布，联合分布函数为C，由对称性，不妨设。如下定义C相应的条件Copula函数：定义14对于一个Copula函数C，。定义：(14.31)表示X,Y均小于u的条件下u的分布，即。由于对称性，同时也是y在条件下的分布。(,)(,)CxyCyx(0,1),..(,)0ustCuu(,)():,01(,)uCxuuFxxCuu()uFx()[|,]uFxPXxXuYuuF{,}XuYu定义15设为定义14中所定义的条件分布函数，则在u水平对应于C的极限尾部相关Copula函数为：(14.32)根据该定义，有这意味着当u很小的时候，描绘了两个有Copula函数的随机变量的尾部条件相关性结构。uF11((),())(,):,01,01(,)uuuCFxFyCxyxyCuu11(,)[(),()|,]uuuCxyPXFxYFyXuYuuC定义16把在零点以指数的速度变化的函数集合记为，即，有：(14.33)定理8令C为ArchimedeanCpula函数，有可微生成元，则：(14.34)当时，当时，[,]f0()lim(),0,0()ufuxxxyfuyy,01,00,1,lim(,)(,)(1)CluuxyCxyCxyxy00lim(,)uuCxyxy0lim(,)uuCxyxy定义17随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系数定义为：(14.35)上述定义的可以有另一种写法：(14.36)其中为C的生存Copula函数，即若存在且为正，则X,Y是下（上）尾部相关的；若为0，则X,Y关于下（上）尾部独立。11001111(,):lim[()|()]lim12(,):lim[()|()]lim1louuupuuCuuPYGuXFuuuCuuPYGuXFuu11ˆ12(,)(1,1)limlim11upuuuCuuCu