2013年上海市普通高中学业水平考试数学卷(答案)

12013年上海市普通高中学业水平考试数学试卷（答案）（考试时间：90分钟，满分120分）一、填空题312361、函数2log2yx的定义域是2,2、方程28x的解是3x3、抛物线28yx的准线方程是2x4、函数2sinyx的最小正周期是25、已知向量1,,9,6,akbkvv若abvvP，则实数k346、函数4sin3cosyxx的最大值是57、复数23i的模是138、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若05,8,60acB，则b79、在如图所示的正方体1111ABCDABCD中，异面直线11,ABBC所成角的大小为06010、从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）0.811、若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则该数列的前n项和nS_________25766nn12、36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623，所以36的所有正约数之和为22222222133223232232312213391，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为234231222215554836二、选择题3123613、展开式为adbc的行列式是（B）A、abdc；B、acbd；C、adbc；D、badc14、设1fx为函数fxx的反函数，下列结论正确的是（B）A、122f；B、124f；C、142f；D、144fA1B1C1D1ABCD215、直线2310xy的一个方向向量是（D）A、2,3；B、2,3；C、3,2；D、3,216、函数12fxx的大致图像是（A）xyxyxyxy0000ACBD17、如果0ab，那么下列不等式成立的是（D）A、11ab；B、2abb；C、2aba；D、11ab18、若复数12,zz满足12zz，则12,zz在复平面上对应的点12,ZZ（A）A、关于x轴对称；B、关于y轴对称；C、关于原点对称；D、关于直线yx对称19、101x的二项展开式中的一项是（C）A、45x；B、290x；C、3120x；D、4252x20、既是偶函数又在区间0,上单调递减的函数是（B）A、sinyx；B、cosyx；C、sin2yx；D、cos2yx21、若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（C）A、1:2；B、1:4；C、1:8；D、1:1622、设全集UR，下列集合运算结果为R的是（A）A、UZNð；B、UNNð；C、UU痧；D、0Uð23、已知,,abcR，“240bac”是“函数2fxaxbxc的图像恒在x轴上方”的（D）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、非充分非必要条件24、已知,AB为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N，若2MNANNB，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是（C）A、圆；B、椭圆；C、抛物线；D、双典线解：以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设2,,ABaMxy，则,0Nx,0,,0,0,,,0,,0AaBaMNyANxaNBaxuuuvuuuvuuuv，故2222222MNANNByaxxya3三、解答题7281324825、如图，在正三棱柱111ABCABC中，16AA，异面直线11,BCAA所成角的大小为6，求该三棱柱的体积解：236231834V26、如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，40,50ABmBCm。现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求健身房的最大占地面积解：设健身房的长为xm，宽ym，由相似三角形知识有45050,0,5040505xyxyx故2450425500,0,5055xxSSxx，当25x时，2max500Sm27、已知数列na的前n项和为2nSnn，数列nb满足2nanb，求12limnnbbb解：221nnSnnan，又1211224nnnannnbbb于是1214lim1314nnbbb28、已知椭圆C的两个焦点分别为121,0,1,0FF，短轴的两个端点分别为12,BB（1）若112FBB为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴为2，过点2F的直线l与椭圆C相交于,PQ两点，且11FPFQ，求直线l的方程解：（1）112FBB为等边三角形，则22222222243333:3114113aabbxcbCyabcbABCC1A1B1ABC4（2）容易求得椭圆C的方程为2212xy。当直线l的斜率不存在时，其方程为1x，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)ykx。由22(1)12ykxxy得2222(21)42(1)0kxkxk。设1122()()PxyQxy，，，，则2212121111222242(1)(1)(1)2121kkxxxxFPxyFQxykk，，，，，因为11FPFQ，所以110FPFQ,即21212121212(1)(1)()1(1)(1)xxyyxxxxkxx2221212(1)(1)()1kxxkxxk2271021kk，解得217k，即77k故直线l的方程为710xy或710xy29、在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点nP在x轴上，其横坐标为nx，且nx是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,nnnPAPnN（1）若31arctan3，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为0,82，求n的最大值及相应n的值解：（1）设0,,0Abb，则12tannnnxOAPbb故33432841111arctantantan483233331bbOAPOAPbb即0,40,8AA（2）91220,82tan282nnnAOAP，设94.5222ntxyP4P3P2P1OA5故7922179222222112tantan1124222122nnnnnnnttOAPOAPttt当且仅当92112422ntn时取等号所以n的最大值是2arctan4，相应的4n