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11.1正数和负数知识点归纳一、正数和负数的定义正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“+”的数就是正数，带“-”的数就是负数。eg：-a不一定是负数，因为字母a可以表示任何数，当a是正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a则是一个正数，而不是负数；当a表示0时，-a就是在0前面加上一个负号，仍是0,0不分正负。二、具有相反意义的量正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。三、0的意义（重点理解）数0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界线。0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已经不仅是表示“没有”。典型例题1、下列说法不正确的是（）A．0不是正数，也不是负数B．负数是带有“-”的数，正数是带有“+”的数C．非负数是正数或0D．0是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有”2、水位上升-0.5cm的意义是（）A．水位上升0.5cmB．水位下降0.5cmC．水位没有变化D．水位下降了5cm3、下列说法错误的是（）A．-5一定是负数B．在正数前面加上“-”就成了负数C．自然数一定是正数D．-a不一定是负数4、下列说法正确的有（）①不带负号的数都是正数②带负号的数不一定是负数③0℃表示没有温度④0既不是正数，也不是负数A.0个B.1个C.2个D3个5、在跳远测验中，合格标准是4.00m，小明跳出了4.18m，记作+0.18m，小华跳出了3.96m，应记作＿＿＿＿26、-1,2，-3,4，-5＿＿，＿＿，＿＿，…第81个数是＿＿，第2005个数是＿＿。7、峨眉山上某天的最高气温为12℃，最低气温为-4℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A.4B.8℃C.12℃D.16℃8、一架飞机在距离地面1500米的高空飞行，它第一次下降了-200米，第二次又上升了-100米，第三次下降了300米，此时飞机距离地面多高？9、某蓄水池的标准水位记为0m，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么（1）0.08m和-0.2m各表示什么？（2）水面低于标准水位0.1m和高于标准水位0.23m各表示什么？10、2006年我国全年平均降水量比上年减少24毫米，2005年比上年增长8毫米，2004年比上年减少20毫米。用正数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量。31.2.1有理数知识点归纳一、有理数的概念正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。注：（1）正整数、0、负整数统称为整数。（2）正分数和负分数统称为分数。（3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。（4）我们把有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。二、有理数的分类（重点）按数的种类分按有理数的性质分有理数负分数正分数分数负整数正整数整数0有理数负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。（2）0和正整数统称为非负整数。（3）0和负整数统称为非正整数。（4）0和正有理数统称为非负数。（5）0和负有理数统称为非正数。典型例题1、-7是（）A.自然数B.负分数C.非负数D.负整数2、所有的正整数和负整数结合在一起构成（）A.整数集合B.有理数集合C.自然数集合D.以上说法都不对3、关于0的说法，正确的有（）①是整数②不是正数，也不是负数③是最小的整数④是自然数A.1个B.2个C.3个D.4个4、下列说法不正确的是（）A.-0.5是分数B.0不是正数也不是负数C.整数和分数统称为有理数D.0是最小的正数5、下列说法错误的是（）4A．负整数和负分数统称为负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数和负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数6、下列说法正确的的是（）A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数B.一个有理数不是整数就是负数C.一个有理数不是整数就是分数D.以上说法都正确7、,0,,7440.3。四个数中，有理数的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.有理数中，是整数而不是正数的是（），是分数而不是正分数的是（）。9、有理数中，最小的自然数是（）,最小的正整数是（）。10、整数与分数统称为（），整数包括（），分数包括（）。11、通常把（）和（）统称为非负整数，把（）和（）统称为非正整数；把（）和（）统称为非负数，把（）和（）统称为非正数。12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。,1003,72,65,01.0,25.2,43,100,0,317,433,6,3.90.21。.(1)正整数集合：{}(2)负整数集合：{}(3)正分数集合：{}(4)负分数集合：{}(5)整数集合：{}(6)分数集合：{}(7)有理数集合：{}51.2.2数轴知识点归纳一、数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意事项：（1）数轴是一条两端无限延长的直线。（2）原点，正方向，单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。（3）同一数轴上的单位长度要统一。（4）数轴的三要素都是根据实际需要规定的。（5）定义中的“规定”二字，是说原点的规定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，通常取向右为正方向。二、数轴的画法（重点）画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。其步骤如下：1、画一条水平的直线；2、在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下方标上“0”）；3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来；4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度选取一点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，每隔一个单位长度选取一点，依次表示-1，-2，-3，…。三、数轴上的点与有理数的关系（重点、难点）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个长度单位；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个长度单位。所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边（或上边）的点表示，负有理数可以用原点左边（或下边）的点表示，0用原点表示。注：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应的关系。四、利用数轴比较大小（重点、难点）1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于0（2）负数都小于0（3）正数大于负数（4）两个负数比较大小：距原点距离远的数比距离远点近的数小，即在原点的左侧，离原点越远，数越小。典型例题1、规定了（）、（）、（）的直线叫做数轴。2、在数轴上表示数-3的点在原点的（），与原点的距离为（）个长度单位。63、在数轴上到原点距离是2.5个长度单位的点表示的数是（）。4、P点表示的数是-1，到P点4个单位长度的点表示的数是（）。5、一个动点从表示1的点出发，先向左移动2个单位，再向右移动3个单位长度，则终点离原点的距离是（）个单位长度。6、若点A表示数-3，点B表示数7，那么A、B间的距离是（）。7、下列图中表示数轴的是（）.A.B.C.D.8、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长2005cm的线段AB，则线段AB盖住的整点有（）A.2003或2004个B.2004或2005个C.2005或2006个D.2006或2007个9、画出数轴，用数轴画出表示下列各点的数并用“”连接起来。4，-2，-4.5，0，542,31110、如图，写出数轴上点A、B、C、D、E表示的数。11、小敏家、学校、邮局、图书馆坐落在同一条东西走向的大街上，依次记为A，B，C，D，学校位于小敏家西150m，邮局位于小敏家东100m，图书馆位于小敏家西400m。（1）用数轴表示A，B，C，D的位置.（2）一天小敏从家里以每分钟50m的速度先去邮局寄信后又往图书馆方向共走了8min.试问小敏这时约在什么位置？距离图书馆和学校各约多少米？71.2.3相反数知识点归纳一、相反数的概念只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；特别地，0的相反数是0.注：（1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能把它漏掉.（2）相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数.（3）“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同以外数字完全相同，不要理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数.二、相反数的意义任何一个数都有相反数，而且只有一个相反数，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。代数意义：相反数中，“相反”的意思是说：“只有符号相反”，即两个数除符号不同外其余都相同。【注意】：（1）一个数的相反数的相反数是它本身.（2）注意区别“相反数”与“相反意义的量”。前者是指具有相反符号的一对数，后者指相对具有相反意义的量。三、相反数的表示方法一般的，一个数a的相反数可以表示为-a。根据相反数的意义，只改变原数的符号即可得到原数的相反数，就是说只要在一个数的前面加“-”号即可得到这个数的相反数。【注意】（1）数a表示任意一个数，可以是正数、负数和0，还可以表示任意的一个式子。（2）一一个个数数的的前前面面加加上上““--””号号表表示示这这个个数数的的相相反反数数，，加加上上““++””号号表表示示这这个个数数本本身身。。四、相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可得到原数的相反数；当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”号；若原数是单个数且前面有“-”则也应先括起来再添“-”号，然后化简。如：（1）-a的相反数是-（-a），即a；（2）a+b的相反数是-（a+b）；（3）-（-2）的相反数是-[-(-2)]，即-2.五、多重符号的化简当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。六、相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。8【注意】（1）若两个数互为相反数，则它们的和为0.（2）数轴上表示相反数的两个数关于原点对称.（3）相反数等于它本身的数只有0.（4）相反数是成对出现的，不能单独存在.（5）“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同以外数字完全相同，不要理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数.典型例题1、判断下列说法是否正确。（1）-3与31互为相反数。（）（2）5的相反数是51。（）（3）0的相反数是-0，所以0与-0不是互为相反数。（）2、下列叙述正确的是（）A.符号不同的两个数互为相反数B.一个数的相反数一定是负数C.非负数的相反数是非整数D.正数的相反数是分数3、如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的位置是（）A.原点左侧B.原点右侧C.原点D.原点或原点右侧4、一个数的相反数小于它本身，这个数是（）A.正数B.负数C.非正数D.非负数5、一个数的相反数大于它本身，这个数是（）A.正数B.负数C.非正数D.非负数6、一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（）A.正数B.负数C.正数或0D.负数或07、一个数的相反数是非正数，则这个数一定是（）A.正数B.负数C.正数或0D.负数或08、下面两个数互为相反数的是（）A