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1第7讲清华附中真题+首师附中真题（尖子班）第一部分清华附中历年真题展示一、填空。1、有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的31合起来是13亩，麦地的一半和菜地的31合起来是12亩，那么菜地有亩。﹝分析﹞解：设菜地有χ亩，麦地有y亩。2x＋3y＝133x＋2y＝12解得χ＝18，y＝12答：菜地有18亩。2、―次考试，参加的学生中有71得优，31得良，21得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有人。﹝分析﹞学生的人数永远是整数。根据题意可知，学生人数是7、2、3的公倍数，而[7，2，3]＝42，42小于50，所以参加的学生总数为42人。42×（1－71－31－21）＝1（人）答：得差的学生有1人。3、有一城镇共5000户居民，每户的子女不超过2人，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子人。﹝分析﹞“一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，”那么，余下的家庭中另一半每家有0个孩子，于是，余下的家庭平均每户1个孩子，开始的一部分家庭每户1个孩子，所以整个城镇平均每户有1个孩子，共5000户居民，所以此城镇共有孩子：1×5000＝5000（人）答：此城镇共有孩子5000人。4、科学家进行一次实验，每隔5小时作一次记录，他做第12次记录时，时钟正好九点整，问第一次作记录时，时钟是点。﹝分析﹞⑴第一次作记录和第12次作记录的时间差为5×（12－1）＝55小时。⑵“做第12次记录时钟正好九点整”，所以第一次作记录在55小时之前，55÷24＝2（昼夜）……7（小时）即往前推2昼夜再推7小时，所以第一次作记录时是9－7＝2点。答：第一次作记录时，时钟显示2点。5、一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是，除数是。﹝分析﹞⑴错误的商是383，比正确的商大21，正确的商是383－21＝362。被除数看错了，2而除数没错，也就是除数没有变化。⑵设除数为χ。则正确的被除数是362χ，错误的被除数是362χ＋500或383χ＋17（383－21）χ＋（8－3）×100＝383χ＋17χ＝23所以被除数＝23×(383－21)＝8326答：这道题的被除数是8326，除数是23。6、甲、乙两人背诵英语单词，甲比乙每天多背8个，乙因为生病，中途停止10天。40天后，乙背的单词正好是甲的一半，甲一共背单词个。解：设乙每天背诵单词χ个，则甲每天背诵单词（χ＋8）个。（40－10）χ＝40（χ＋8）×2130χ＝20（χ＋8）χ＝16χ＋8＝2440（χ＋8）＝960答：甲一共背单词960个。算术解法：⑴甲背40天，乙背40－10＝30天，乙背的单词正好是甲的一半。则乙30天背的单词等于甲40×21＝20天背的单词。用V表示每天背诵单词的效率，则：V甲×20＝V乙×30V甲︰V乙＝30︰20＝3︰2⑵甲比乙每天多背3－2＝1份，甲比乙每天多背8个，每份单词就是8个。V甲＝8×3＝24个。甲一共背单词24×40＝960个。答：甲一共背单词960个。二、解答7、甲乙合作一项工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高101，乙的工作效率比单独做时提高51，甲乙合作6小时完成全部任务的52，第二天乙又单独作了6小时，还留下这件工作的3013尚未完成，如果这件工作始终由甲1人单独做，需要多少小时？﹝分析﹞⑴第二天乙单独作6小时完成1－52－3013＝61。第一天乙6小时完成61×（1＋51）＝51第一天甲6小时完成52－51＝51⑵甲乙合作时甲每小时完成51÷6＝301，所以，甲单独做时每小时完成301÷（1＋101）＝331，甲单独做需要1÷331＝33小时。3答：如果这件工作始终由甲1人单独做，需要33小时。8、龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，乌龟每分钟爬30米，兔子每分钟跑330米，兔子跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问乌龟和兔子谁先到达终点？先到的到达终点时后到的离终点还有多少米?﹝分析﹞⑴兔子跑了330×10＝3300米，之后睡215分钟，也就是10＋215＝225分钟的时间兔子总共前进了3300米。而乌龟（10＋215）分钟总共前进了30×225＝6750米。⑵余下的路程乌龟只需（7000－6750）÷30＝831分钟的时间就能到达终点。而831分钟的时间兔子只能前进330×831＝2750米。所以乌龟到达终点时兔子只跑了3300＋2750＝6050米，离终点还有7000－6050＝950米。答：鸟龟先到终点，乌龟到达终点时兔子距离终点还有950米。9、如图，正方形边长为2厘米，以圆弧为分界线的甲、乙两部分面积的差(大的减去小的)是多少平方厘米？(圆弧内部的是等腰直角三角形)。(π取3.14)﹝分析﹞⑴甲的面积＝（22－π×22×41）×21＝2－2＝0.43乙的面积＝（π×22×41－222）×21＝22＝0.57⑵乙的面积－甲的面积＝0.57－0.43＝0.14平方厘米。答：甲、乙两部分面积的差是0.14平方厘米。10、设α@b＝[α,b]＋（α,b），其中[α,b]表示α与b的最小公倍数，（α,b）表示α与b的最大公约数，已知12@χ＝42，求χ。﹝分析﹞⑴12@χ＝42[12,χ]＋（12,χ）＝42，因为两个数的最大公约数一定是最小公倍数的约数，所以[12,χ]是（12,χ）的倍数，（12,χ）是[12,χ]的约数。⑵由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积，所以12χ＝[12,χ]×（12,χ）两个数的最大公约数（12,χ）必定是χ的约数，那么，[12,χ]必定是12的倍数，小于42的12的倍数有12、24、36三个。所以，原题转化为：12的倍数＋42的约数＝42，满足条件的只有36＋6＝42，所以，[12,χ]＝36；（12,χ）＝6。⑶36×6＝12χ，χ＝36×6÷12＝18答：χ等于18。4第二部分首师附中历年真题展示一、填空。1、521＋515247＋5051524647＋49505152454647＋……＋564950515212454647分析：⑴先来复习一个整数的裂项公式：1×2×3×4＋2×3×4×5＋3×4×5×6＋……＋n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝51n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）⑵原式共有48项，从第5项到第48项是：484950515244454647＋4748495051524344454647＋46474849505152424344454647＋……约分之后，分母都是52×51×50×49×48，分子依次是47×46×45×44、46×45×44×43、45×44×43×42、……、4×3×2×1，⑵前面的4项，通分之后分母也是52×51×50×49×48，分子依次是51×50×49×48、50×49×48×47、49×48×47×46、48×47×46×45、⑶原式＝484950515212344748495048495051＝48495051525150494854324321＝4849505152525150494851＝512、由六个正方形组成的“十字架”的面积是150平方厘米，它的周长是厘米。﹝分析﹞⑴每个小正方形的面积是150÷6＝25平方厘木，因为5×5＝25，所以小正方形的边长为5厘米。⑵一周共有14段5厘米。所以“十字架”的周长是5×14＝70厘米。答：“十字架”的周长是70厘米。3、一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是。﹝分析﹞“被7除余2，被8除余3”，这个数如果加上5，就能被7和8整除。因此，这个数应该是7和8的公倍数减去5，形如56n－5的形式。200以内符合56n－5的形式的数有51、107、163，其中被9除余1的数只有163，所以所求的数为163。4、一个密封的长方体水箱，从里面量长60厘米，宽30厘米，高30厘米。当水箱如下左图放置时，水深为20厘米，当水箱如下右图放置时，水深厘米。﹝分析﹞⑴先求出水的体积为60×30×20＝36000立方厘米，如右图放置时，水的体积不变，所以水深为36000÷(30×30)＝40厘米。5答：当水箱如下右图放置时，水深40厘米。⑵左图中水箱中水的高度是水箱的3020＝32，所以水箱中水的体积是水箱的32。右图中水箱中水的体积也是水箱的32，所以右图中水的高度是水箱的32，是60×32＝40厘米。答：当水箱如下右图放置时，水深40厘米。二、解答5、制作一批零件，甲车间要10天完成。如果甲车间与乙车间一起做只需6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。现在3个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个，问：丙车间制做了多少个零件？﹝分析﹞⑴甲车间每天完成101乙车间每天完成61－101＝151，丙车间每天完成81－151＝1207，⑵三个车间一起做，甲车间的效率是乙车间的101÷151＝1.5倍。时间相同，甲车间完成的工作量也是乙车间的1.5倍。而甲车间比乙车间多制作零件2400个，所以甲车间共制作零件2400÷（1.5－1）×1.5＝7200个。这批零件总数是7200÷101＝72000个。丙车间完成72000×1207＝4200个。答：丙车间制做了4200个零件。6、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙单独工作需要24小时，丙单独工作需要30小时。现在甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙；甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙；……，每人工作一小时换班，直到工程完成。问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？﹝分析﹞⑴三个人的工作状态是每9个小时为一个循环周期。观察发现，实际每3个小时小时，甲、乙、丙就各工作了一个小时，一共完成总工作量的181＋241＋301＝36047。1÷36047＝74731，所以需要经过7个3小时。此时整个工程还差1－36047×7＝36031，此时已经过了2个循环周期零3小时，所以接下来的工作顺序是乙、丙、甲；乙先完成了36015，接着丙完成了36012，还剩下360121531＝3604，甲会在3604÷181＝51小时内完成。所以工程完成时甲工作了751小时，乙和丙各工作了8小时。67、下面是一张2002年3月的月历:小明的爸爸工作4天休息1天，小明的妈妈工作2天休息1天。小明星期六和星期日休息。小明、爸爸和妈妈3月3日同时休息，三人一起到博物馆参观。他们约定，要在下一次共同休息的那一天，去看望奶奶，他们看望奶奶的日期是3月几日？﹝分析﹞⑴“爸爸工作4天休息1天”，也就是每5天为一个周期，每个周期的最后1天休息。“妈妈工作2天休息1天”，也就是每3天为一个周期，每个周期的最后1天休息。[3，5]＝15，3月3日爸爸和妈妈同时休息，过15天，也就是3＋15＝18号，爸爸和妈妈又同时休息。这一天正好是星期日，小明也休息，所以他们看望奶奶的日期是3月18日。答：小明、爸爸和妈妈看望奶奶的日期是3月18日。8、已知abc表示一个各位数字互不相同的三位数，abc等于由α、b、c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。分析：㈠当α、b、c都不为0时:abc＝ab＋ba＋ac＋ca＋bc＋cb100α＋10b＋c＝22（α＋b＋c）100α＋10b＋c＝22α＋22b＋22c78α＝12b＋21c26α＝4b＋7c当α＝1时，b＝3，c＝2当α＝2时，b＝6，c＝4当α＝3时，b＝9，c＝6当α≥4时，b和c中肯定有一个数大于或等于10，不合题意。所以，满足