斐波那契数列通项公式的推导方法

利用转化思想求斐波那契数列的通项公式象山县第三中学谢刚伟一、与斐波那契有关的事实1、斐波那契和“兔子问题”意大利数学家(约1170-约1250年)，12、13世纪欧洲数学界的代表人物，生于比萨。他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（1202年完成，1228年修订），其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。另一个「兔子问题」也引起了后人的极大兴趣。这数列与后来的「优选法」有密切关系。「兔子问题」：假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力．问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？这就产生了斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34…1，2、介绍斐波那契数列的应用和植物生长的有趣现象数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新技，然后休息一年．再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝．那么第1年它只有主干1枝，第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝等等.每年的分枝数顺次组成的数列符合斐波那契数列（除第一项外）植物生长的螺旋现象等它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用。3、概括斐波那契数列的特征，写出递推关系其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和．用递推公式表达就是：aaaaannn122111,1,2,3,5,8,13,21,34,…4、斐波那契数列通项公式的发现与证明1680年意大利──法国学者卡西尼发现该数列的某个重要关系式。1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式。1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究斐波那契数列。211(1)nnnnaaa11515225nnna二、设计问题，发现公式的推导方法问题一已知数列{}满足求数列{}的通项公式。nana11132(2)nnanaa问题二已知数列{}满足数列{}满足：=+1；（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{}的通项公式。nana11121(2)nnanaanbnbnanb问题一的解答2a=3×1+2=5，3a=3×5+2=17，4a=3×17+2=53，…无法继续下去。思路一：思路二：2a=3×1+2=3+2，3a=3×（3+2）+2=23223，4a=3×（23223）+2=32232233，…………猜想：na=12322...322333nnn=11213313nn=11223nn上式当n=1时也成立，na=1123nnN(证略)问题二的解答思路：nb=na+1=（21na+1）+1=2（1na+1）=21nb，即nb=21nb数列{nb}为等比数列，其中1b=1a+1=2,q=2nb=212n=n212nna构造法问题一思路三：设nb=na+1，则1nb=1na+1，nb=31nb{nb}为等比数列，其中1b=1a+1=2,q=3，nb=213n=132nna=132n－1概括出这类数列的一般特征和解法数列{na}特征：11(01,0)nnaacdccdaa且解法：设na+x=c(1na+x)，则cx－x=d，x=1cd；令nb=na+1cd，则1nb=1na+1cd，代入得nb=cna，{nb}为等比数列，最后求得nb=（a+1cd）1nc，na=（a+1cd）1nc－1cd概括出这类数列的一般特征和解法：解：设113()22nnnnaxxa，易得x=1，再设nb=2nna，则1nb=112nna，1nb=3nb{nb}为等比数列，其中1b=1a+2=3,q=3，nb=n3na=n3-n2练习：数列{na}满足11132nnnaaa，求数列{na}的通项公式。问题三：已知数列{na}满足1212132(3)nnnaanaaa,求na。思路一：用计算、猜想、证明的方法(略)思路二：对递推式变形得：112nnnnaaaa这是等差数列的性质，故{na}是等差数列，其中公差d=3-1=2，na=1a+(n-1)d=2n-1三、斐波那契数列通项公式的推导方法设211()nnnnpqpaaaa………(1)，其中p、q满足11qppq，解得152152pq或152152pq①当152152pq时，211151515()222nnnnaaaa设nb=1152nnaa………(2)，则1nb=21152nnaa………(3)将(2)(3)代入(1)得：1nb=152nb{nb}是等比数列，待定系数法构造法其中1b=21152aa=152，公比q=152nb=1b1nq=152n即：1152nnaa=152n………(4)②当152152pq时，同理可得：1152nnaa=152n………(5)将(4)、(5)两式相减得：1515522nnna11515225nnna解法推广：1、这种解法能推广到形如“21nnncdaaa”给出的线性递推关系；2、若称“1nncdaa”为一级线性递推关系，“21nnncdaaa”为二级线性递推关系，显然上述方法还能推广到三级及以上的线性递推关系。上面的处理特征不妨称之为降级处理法。四、课堂总结1、重要的数学思想方法①待定系数法、构造法②问题一类比归纳问题二问题二、三概括化归斐波那契数列2、值得借鉴的经验解决问题概括通法推广应用由此及彼，举一反三