河南理工大学线性代数历年考试

河南理工大学2007-2008线性代数试题一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题,每小题2分,共6分)1、设向量组1,1,1,1,,12,,1,13线性相关，则必有（）0A或1,1B或2,1C或2,1D或2.2、设n维向量组12,,,m线性无关，则（）A组中增加一个任意向量后也线性无关，B组中去掉一个向量后仍线性无关，C存在不全为0的数kkm1,,，使kiiim01，D组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。3、已知向量组1,,m的秩为r(rm),则该向量组中（）()A必有r个向量线性无关.()B任意r个向量线性无关.()C任意r个向量都是该向量组的最大无关组.()D任一向量都可由其余向量线性表出.二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题,每小题2分,共8分)1、在n阶行列式中，关于主对角线与元素ija对称的元素是________.2、设E(,)ij表示由n阶单位矩阵第i行与第j行互换得到的初等矩阵，则E(,)ij1__________.（工）3、二次型fxxxxxxxxxxxxxx(,,,)1234121314232426842的矩阵表达式为fxxxx(,,,)1234=______________________________________________.（文）3、设420310002A,则A1等于___________________.4、设向量组123,,线性相关，而向量组234,,线性无关，则向量组123,,的最大线性无关组是.三、(10分)计算行列式D1102334620331247的值.四、（8分）解下列矩阵方程设CAXB，其中032001,7321,050400002CBA，求X.五、(9分)设323513123A,用初等变换法求A1.六、(9分)设014,131,121321aaa，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.七、（8分）设821873240495401322511A，求矩阵A的秩.八、（10分）求方程组0739083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的基础解系,并写出其通解.九、解答下列各题(12分)设340430241A，求A100.十、（10分）试判断实对称矩阵943421312A是否为正定矩阵？（文）十、（10分）矩阵97963422644121121112A，求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若A是n阶对称的可逆矩阵,证明A1也是对称矩阵.2、设齐次方程组0........................022111212111nnnnnnnxaxaxaxaxaxa的系数矩阵行列式1,0iAD是D中的元素aini11(,,)的代数余子式，试证明:),,,(21iniiAAA是方程组的一个解.成绩河南理工大学2007-2008线性代数试题答案一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题,每小题2分,共6分)1、D2、B3、A二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题,每小题2分,共8分)1、jia2、jiE,（工）3、432143210014002312014310xxxxxxxx（文）3、210232000214、32,三、(10分)计算行列式D1102334620331247的值.解110311946031191320469411320469411132204630001D四、（8分）解下列矩阵方程设CAXB，其中032001,7321,050400002CBA，求X.解11CBAX0410510000211A，13271BX1327032001041051000021=1327210053021212356521127五、(9分)设323513123A,用初等变换法求A1.101200011410001123100323010513001123EA101200211010292270031012002110102102302321021100211010233267001210212112332671A六、(9分)设014,131,121321aaa，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.解11ab1113512164131,,1111222bbbbaab2021113512131014,,,,222231111333bbbbabbbbaab七、（8分）设821873240495401322511A，求矩阵A的秩.解00001600019420041110251122840019420000004111025112237110324041110411102511A4AR八、（10分）求方程组0739083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的基础解系,并写出其通解.解427084140427031217391118331211151A0000000074721071373010000000042703121基础解系为10723,270413通解为Rkkkkxxxx2122114321,九、解答下列各题(12分)设340430241A，求A100.解A的特征值5,5,1321,对应于5,5,1321的特征向量分别为121,212,001321xxx令120210121321xxxP，则P可逆,且,120210505511P11500050001,500050001PPAAPP故10010010011001001005000501501500050001PPA十、（10分）试判断实对称矩阵943421312A是否为正定矩阵？解;021;0321122013AA为正定矩阵.（文）十、（10分）矩阵97963422644121121112A，求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.解0000031000301104010100000310000111041211AA的列向量组的一个极大无关组为:7211,6611,3412321并且有4215213334;十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若A是n阶对称的可逆矩阵,证明A1也是对称矩阵.证明AAAT,可逆111AAATT,1A也是对称矩阵.2、设齐次方程组0........................022111212111nnnnnnnxaxaxaxaxaxa的系数矩阵行列式1,0iAD是D中的元素aini11(,,)的代数余子式，试证明:),,,(21iniiAAA是方程组的一个解.证明因为ikikDAaAaAainknikik,0,2211而0D,所以将inniiAxAxAx,,2211代入方程组的每个方程都适合.故),,,(21iniiAAA是方程组的一个解.河南理工大学2008-2009线性代数一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(本大题分3小题,每小题2分,共6分)1、设向量组1234,,,线性无关，则()14433221,,,A,线性无关；14433221,,,B,线性无关；14433221,,,C,线性无关；14433221,,,A,线性无关.2、已知向量组1,,m的秩为r(rm),则该向量组中（）()A必有r个向量线性无关.()B任意r个向量线性无关.()C任意r个向量都是该向量组的最大无关组.()D任一向量都可由其余向量线性表出.3、若方程组AXBmnmn()对于任意m维列向量B都有解，则()()().ARAn()().BRAm()().CRAn()().DRAm二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题,每小题2分,共8分)1、在n阶行列式中，关于主对角线与元素ija对称的元素是________.2、设是阶初等方阵则等于EE(,),[(,)]244242_____________________.3、二次型fxxxxxxxxxxxxx(,,,)12341213142223428123167的矩阵表达式为fxxxx(,,,)1234=_____________________________________________.4、设向量组123,,线性相关，而向量组234,,线性无关，则向量组123,,的最大线性无关组是.（文）4、设220310004A,则A1