第14章：《整式与因式分解》总复习

第十四章整式的乘法与因式分解一、整式的有关概念1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。4、多项式：几个单项式的和叫多项式。5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）二、整式的运算（一）整式的加减法基本步骤：去括号，合并同类项。1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示：（其中m、n为正整数）nmnmaaa（二）整式的乘法练习：判断下列各式是否正确。6623222844333)()()()(2,,2xxxxxmmmbbbaaa2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：mnnmaa)(（其中m、n为正整数）练习：判断下列各式是否正确。2244241222443243284444)()()(,)(])[(,)(mmmnnaaaxxbbbaaamnppnmaa])[(（其中m、n、P为正整数）3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。符号表示：)()(),(,)(为正整数其中为正整数其中ncbaabcnbaabnnnnnnn练习：计算下列各式。32332324)(,)2(,)21(,)2(baxybaxyz4.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。•法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+n)5.多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn（1）、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式.,,))((22也可以是代数式既可以是数其中babababa说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。6.乘法公式：一般的，我们有：1、205×1952、(3x+2)(3x-2)3、(-x+2y)(-x-2y)4、(x+y+z)(x+y-z)（2）、完全平方公式法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。.,,2)(;2)(222222也可以是代数式既可以是数其中bababababababa2222)(:bababa即一般的，我们有：注意：•（1）(a-b)=-(b-a)•(2)（a-b)2=(b-a)2•(3)(-a-b)2=(a+b)2•(4)(a-b)3=-(b-a)37.添括号的法则：•添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。（1）、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有nmnmaaa（其中a≠0，m、n为正整数,并且m＞n）)0(10aa8.整式的除法：即任何不等于0的数的0次幂都等于1（2）、单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。练习：计算下列各题。)5.0()4331)4()6()645)(3(])(31[)(6)2()2(()41)(1(21231221223233225346yxyxyxyxxxyxyxbabacacbammmnm知识点1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。X2-1(X+1)(X-1)因式分解整式乘法知识点2提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2–x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)x2a典例剖析例1用提公因式法将下列各式因式分解.(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)x3+(b-a)-(a-b)(a-b)小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.做一做把下列各式分解因式.(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；2(2a+b)22(1-q)2(2p-2pq+1)或2(q-1)2(2p-2pq+1)(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.知识点3公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).例2把下列各式分解因式.(1)(a+b)2-4a2；(2)1-10x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2做一做把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).(1)(x2+3)2(2)(x+y-2)2(2)1-10x+25x2(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)2=1-10x+(5x)24a2(2a)2+2a-2a25x2(5x)2综合运用例3分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2(2)x2(x-y)+y2(y-x)x=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2=(x-y)(x2-y2)小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.探索与创新题例4若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=—分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2∴±kxy=2·3x·6y=36xy∴k=±36做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=___k=3或k=-9