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第三章线性系统的时域分析对于一个实际的系统，在建立数学模型之后，就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能。本章的时域分析就是其中一种重要的方法。时域分析法是直接求解系统的微分方程，即利用拉氏变换和拉氏反变换求解，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。这种方法结果直观，应用范围广。本章主要介绍系统的时间响应及其组成，并对一阶、二阶系统的典型时间响应进行分析，最后介绍系统的误差与稳态误差的概念。3-1时间响应时间响应的概念系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。瞬态响应反映了系统动态性能。稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。3-2一阶系统的时间响应1、一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。a图示的RC电路，其微分方程为其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。一阶系统电路图、方块图及等效方块图当初使条件为零时，其传递函数为T-时间常数下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。2、一阶系统的单位阶跃响应(Unit-StepResponseofFirst-orderSystem)因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出为对上式取拉氏反变换，得一阶系统单位阶跃响应的特点※响应分为两部分瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）稳态响应：1表示t→∞时，系统的输出状态※xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo(∞)=1，无稳态误差；※xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；※当t=0时，初始斜率为※时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T越小，C(t)响应越快(上升速度越快)，达到稳态用的时间越短。即系统的惯性越小。反之，T越大，系统的响应速度越慢，惯性越大，达到稳态用的时间越长。※通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。3、一阶系统的脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即一阶系统单位脉冲响应的特点※瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；※xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；※※对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。※同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号都如此。对于一阶系统：即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变系统及非线性系统。3-3二阶系统的时间响应1、二阶系统的数学模型凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。例：二阶系统的传递函数的标准形式为：其中，T—为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。－自然频率（或无阻尼固有频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示二阶系统的动态特性，可以用和这两个参量的形式加以描述2、二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的特征方程：特征根为：下面分四种情况进行说明：(1)欠阻尼() 令－衰减系数－阻尼振荡角频率，得h(t)欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点:※xo(∞)=1，无稳态误差；※瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定。阻尼振荡角频率为；※振荡幅值随ξ减小而加大。(2)临界阻尼()临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应特点※单调上升，无振荡、无超调；※xo(∞)=1，无稳态误差。(3)过阻尼()特点单调上升，无振荡，过渡过程时间长xo(∞)=1，无稳态误差。(4)无阻尼（ξ=0）状态系统有一对共轭虚根，系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：二阶系统的极点分布如下图所示：3、二阶系统的单位脉冲响应几点结论：※二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性：ξ0时，阶跃响应发散，系统不稳定；ξ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0ξ1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快，ξ=0时，出现等幅振荡。※程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。①※ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，3-4瞬态响应的性能指标为了评定系统动态性能的好坏，常用一些性能指标来定量地描述系统瞬态性能。1、瞬态响应的性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。这里定义瞬态响应的性能指标是在两个假设前提下：1）系统在单位阶跃信号作用下2）初始条件为0，即在单位阶跃输入作用前，系统处于静止状态。常见的性能指标有：延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp。表示性能指标的单位阶跃响应曲线※延迟时间td：单位阶跃响应c(t)达到其稳态值的50%所需的时间。※上升时间tr：响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。※峰值时间tp：响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。※最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：※调整时间ts：响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的±2%或±5%）内所需的时间。td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。Mp用来评定系统的相对平稳性。2、二阶系统的瞬态响应指标以二阶系统在欠阻尼状态，输入为单位阶跃信号时，来推导上述性能指标。1）上升时间tr欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：根据上升时间的定义有：显然，ξ一定时，ωn越大，tr越小；ωn一定时，ξ越大，tr越大。2）峰值时间tp令，并将t=tp代入可得：根据tp的定义解上方程可得：可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2π/ωd的一半。且ξ一定，ωn越大，tp越小；ωn一定，ξ越大，tp越大。3）最大超调量Mp超调量在峰值时间发生，故即为最大输出显然，Mp仅与阻尼比ξ有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。ξ越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当ξ=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp=25.4%~1.5%。4）调整时间ts由定义知，当时，对于二阶欠阻尼系统，其响应曲线为衰减的振荡曲线，其有一对包络线，即：为简化运算，用包络线替代响应曲线，即当t=ts时，两边取对数，当ξ一定时，ωn越大，ts越小，系统响应越快。结论※二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。※通常根据允许的最大超调量来确定ξ。ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。※ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。※增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp，但系统快速性降低，tr、tp增加；※当ξ=0.7时，系统的Mp、ts均小，故称其为最佳阻尼比。例题图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数C的值。解：根据牛顿第二定律：系统的传递函数为：3-5系统的误差分析一个系统的特性主要有快速性、平稳性和准确性。快速性、平稳性可用瞬态响应的性能指标来评价，而准确性是由稳态误差来衡量的。它表征了系统的精度和抗干扰能力。1、误差及稳态误差的概念1）误差：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)系统在误差信号作用下，不断调整，使输出量趋于希望值。误差直接或间接地反映了系统输出希望值与实际值之差，从而反映了系统精度。2）稳态误差：稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t→∞）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：所以：从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。当R(s)一定时，就取决于开环传递函数。例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)=1/Ts求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号sinωt输入下的稳态误差。解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：在单位阶跃输入下的稳态误差为：在单位速度输入下的稳态误差为：在单位加速度输入下的稳态误差为：sinωt输入时：由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。对上式拉氏变换后得：稳态输出为：而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。2、系统的类型系统的开环传递函数可写成下面的形式：可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：下面进一步讨论不同类型的系统，在不同的输入信号作用下的静态误差。3、静态误差系统与稳态误差按输入信号的不同来定义各种静态误差系数，并求相应的稳态误差。1）静态位置误差系数Kp当输入为单位阶跃时的稳态误差，称为位置误差。其中，称为静态位置误差系数。如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统。2）静态速度误差系数Kv当输入为单位斜坡时的稳态误差，称为速度误差。其中，称为静态速度误差系数。0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差3）静态加速度误差系数Ka当输入为单位加速度时的稳态误差，称为加速度误差。其中，称为静态加速度误差系数。几点结论※不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。※系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。※在阶跃输入作用下，0型系统的稳态误差为定值，常称为有差系统；I型系统的稳态误差为0，常称为一阶无差系统；※在速度输入作用下，II型系统的稳态误差为0，常称为二阶无差系统。※令l为输入信号拉氏变换后s的阶次，当l≤v时，无稳态偏差（误差）；l-v=1时，偏差（误差）为常数；l-v=2时，偏差（误差）为无穷大；※习惯上，称输出量为“位置”，输出量的变化率为“速度”。在此位置和速度是广义的概念。※尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。※如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。※系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。※稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有意义。4、扰动作用下的稳态误差以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。考虑图示系统，图中为系统的参考输入，为系统的扰动作用。扰动偏差传递函数为：所以，扰动引起的稳态偏差：由扰动引起的输出为：即系统误差：稳态误差