第5讲 函数及其性质之3-函数单调性及值域

函数的单调性与最值第二讲函数及其性质之三1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是忆一忆知识要点f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的要点梳理(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间I上是或，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．忆一忆知识要点增函数减函数2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值要点梳理[难点正本疑点清源]1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．例1已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数；(3)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．函数单调性的判断及应用已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．变式训练1例2求函数y＝log(x2－3x＋2)的单调区间．求函数的单调区间21求函数y＝x2＋x－6的单调区间．变式训练2例3已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．抽象函数的单调性及最值函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x0，y0都有fxy＝f(x)－f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明．(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．变式训练3(14分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)2.函数的单调性与不等式例1.已知定义在R上的函数y=f(x)满足,f(0)≠0,且当x0时，f(x)1,且对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)(2)判断f(x)的单调性.一、抽象函数的单调性与最值【1】若对一切实数x,y都有(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性.()()().fxyfxfy【2】若函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,有f(x)1.求证:f(x)是R上的增函数.【3】已知函数f(x)对于任何实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0．求证:f(x)是偶函数.例2.判断函数在区间(-1,1)上的单调性.2()1xfxx二、函数单调性的判定及证明例3.设为奇函数,且定义域为R.(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对于任意t∈R,不等式恒成立，求实数k的取值范围．12()22xxbfx22(2)(2)0fttftk【1】①③【2】(09湖南)设函数()yfx在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()2xfx．当K=12时，函数()Kfx的单调递增区间为.走进高考(,1),1二、高考热点聚焦热点一：函数概念与抽象函数【例1】函数()fx对于任意实数x满足条件1(2)()fxfx，若(1)5f，则((5))ff_______.15已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234_________.xxxxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m-8-8-6-4-202468xy走进高考