《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解

1轴力图01234-5-4-3-2-101234567N(F/4)x(a)第六章简单超静定问题习题解[习题6-1]试作图示等直杆的轴力图解：把B支座去掉，代之以约束反力BR（↓）。设2F作用点为C，F作用点为D，则：BBDRNFRNBCDFRNBAC3变形谐调条件为：0l02EAaNEAaNEAaNBDCDAC02BDCDACNNN03)(2FRFRRBBB45FRB（实际方向与假设方向相反，即：↑）故：45FNBD445FFFNCD47345FFFNAC轴力图如图所示。2[习题6-2]图示支架承受荷载kNF10，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mmA，22150mmA，23200mmA。试求各杆的轴力。解：以节点A为研究对象，其受力图如图所示。0X030cos30cos01032NNN0332132NNN0332132NNN………(1)0Y030sin30sin0103FNN2013NN…………(2)变形谐调条件：设A节点的水平位移为x，竖向位移为y，则由变形协调图（b）可知：00130cos30sinxylxl200330cos30sinxyl03130cos2xll2313lll设lll31，则ll232223311233EAlNEAlNEAlN22331123ANANAN15023200100231NNN323122NNN21322NNN………………(3)(1)、(2)、(3)联立解得：kNN45.81；kNN68.22；kNN54.111（方向如图所示，为压力，故应写作：kNN54.111）。[习题6-3]一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受多少力。解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用4321,,,NNNN表示。由其平衡条件可列三个方程：0Z04321FNNNNFNNNN4321…………(1)0xM0222242aNaN42NN………………(2)0yM0222231aNeFaNaFeNN231…………(3)由变形协调条件建立补充方程EANEAlNEAlN23122312NNN。。。。。。。。。。（4）4(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：442FNNFaeN)241(1FaeN)241(3[习题6-4]刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知kNF50，两根钢杆的横截面面积21000mmA，试求两杆的轴力和应力。解：以AB杆为研究对象，则：0AM0350221aaNaN150221NN…………(1)变形协调条件：122llEAlNEAlN122122NN…………………(2)(1)、(2)联立，解得：kNN301kNN602MPammNAN30100030000211MPammNAN601000600002225[习题6-5]图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆BD和CE的横截面面积22200mmA和21400mmA，钢杆的许用应力MPa170][，试校核该钢杆的强度。解：以AB杆为研究对象，则：0AM023)330(3121NN135321NN………………(1)变形协调条件：3121ll123ll112238.1EAlNEAlN40032008.112NN212.1NN…………………(2)(1)、（2）联立，解得：kNN571.381（压）；kNN143.322（拉）故可记作：kNN571.381；kNN143.322强度校核：MPaMPammNAN170][4275.9640038571||||2111，符合强度条件。MPaMPammNAN170][715.160200321432122，符合强度条件。6[习题6-6]试求图示结构的许可荷载[F]。已知杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许用应力为][，梁AB可视为刚体。解：以AB杆为研究对象，则：0Y0321FNNNFNNN321……………(1)0AM0232aFaNaNFNN322………………(2)变形协调条件：2132lllEAlNEAlNEAlN213222134NNN…………….(3)(1)(2)(3)联立，解得：5221FNN；53FN强度条件：][5221AFAAF][5.22][5][53AF][5AF故：AF][5.2][7[习题6-7]横截面积为mmmm250250的短木柱，用四根mmmmmm54040的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力MPas160][，弹性模量GPaEs200；木材的许用应力MPaw12][，弹性模量GPaEw10。试求短木柱的许可荷载[F]。解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：（1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有（2）由物理关系：（3）式（3）代入式（2），得（4）解得：代入式（1），得：（2）许可载荷8由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为：[习题6-8]水平刚性横梁AB上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，杆1和长度短了mm5.1。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且GPaEE20021，AAA21。试求装配后两杆的应力。解：以AB梁为研究对象，则：0CM0145sin2021NN2142NN…………(1)变形协调条件：11AAl1222BBl2111212llBBAA2122llEAlNEAlN222219EAlNEAlN214………...(2)(1)、(2)联立，解得：lEAN)162(21；lEAN)162(42MPammmmMPalE242.161500)162(5.1102002)162(231MPammmmMPalE939.451500)162(5.1102004)162(432[习题6-9]图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm1。已知上、下两段杆的横截面面积分别为2600mm和2300mm，材料的弹性模量GPaE210。试作图示荷载作用下杆的轴力图。解：设装配后，支座B的反力为BR（↓），则：BBCRN40BCDRN（D为60kN集中力的作用点）100BADRN变形协调条件：niil1mRRmmkNmkNRBBB36666262610110600102102.1)100(10600102104.2)40(10300/102102.11261202.1964.24.2BBBRRR906BR)(15kNRB。故：10轴力图00.81.62.43.244.8-15-10-50510152025303540455055606570758085N(kN)x(m)kNNBC15；kNNCD25；kNNAD85。轴力图如下图所示。[习题6-10]两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆的弹性模量为GPaE210，线膨胀系数106)(1012Cl。试求当温度升高C030后，该杆各部分产生的应力。解：变形协调条件：0l0tNll04)2(22atAEaNEANal043atEANal043tEANl)(100800/1021030)(101234342260106kNAAmmkNCctEANlMPakPaANBDAC8.100)(100800MPakPaANCD4.50)(50400211[习题6-11]图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩eM。若212dd，试求固定端的支反力偶矩AM和BM，并作扭矩图。解：把B支座去掉，代之以约束反力偶，其矩为BM，转向为逆时针方向，则：BBCMTeBCAMMT变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0CBACAB02)(21PBPeBGIaMGIaMM0221PBPeBIMIMM式中，241414111632116)2(321321PPIdddI，故：021622PBPeBIMIMM0216BeBMMM33eBMM333233eeeAMMMM（顺时针方向转动）33eBBCMMT3332eeBCAMMMT12扭矩图-33-32-31-30-29-28-27-26-25-24-23-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-101200.511.522.53x(a)T(Me/33)AB轴的轴力图如下：[习题6-12]图示一两端固定的钢圆轴，其直径mmd60。轴在截面C处承受一外力偶矩mkNMe8.3。已知钢的切变模量GPaG80。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。解：把B支座去掉，代之以约束反力力偶，其矩为BM，逆时针方向转动。，则：BCBMTeBCAMMT变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0CBACAB015.0)(PBPeBGIMGIMM02BeBMMM3eBMM，故：13)(267.138.33mkNMMTeBCB)(533.238.3232mkNMMMTeeBCAC截面左侧的最大切应力：PCACAWTmax,式中，抗扭截面模量)(423906014.3161161333mmdWPMPammmmNWTPCACA8.594239010533.2||36max,C截面右侧的最大切应力：PCBCBWTmax,MPammmmNWTPCBCB9.294239010267.1||36max,C截面的转角：PCBCBBCCGIlT式中，444412717006014.3321321mmmmdIP04236714.0)(01245.01271700/1080100010267.1radmmmmNmmmmNGIlTPCBCBBCC[习题6-13]一空心圆管套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知杆A和杆B的极惯性矩分别PAI和PBI；两杆的材料相同，其切变模量为G。14解：解除Ⅱ端约束2M（逆时针方向转动），则由于B杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II之后，Ⅱ端相对于截面C转了角。因为事先将杆B的C端扭了一个角，故变形协调条件为022MPABPBAPBPABAIlIlIGIMTT2[习题6-14]图示圆截面杆AC的直径mmd1001，A端固定，在截面B处承受外力偶矩mkNMe7，截面C的上、下两点处与直径均为mmd