特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵，是一个未知量，称为A的特征多项式，记()=|E-A|，是一个P上的关于的n次多项式，E是单位矩阵。()=|E-A|=n+1n-1+…+n=0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程()=|E-A|=0的根(如：0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。以A的特征值0代入(E-A)X=，得方程组(0E-A)X=，是一个齐次方程组，称为A的关于0的特征方程组。因为|0E-A|=0，(0E-A)X=必存在非零解X(0)，X(0)称为A的属于0的特征向量。所有0的特征向量全体构成了0的特征向量空间。一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=0X，0EX=AX，得：[0E-A]X=即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式|0E-A|=0的根，由代数基本定理有n个复根1,2,…,n，为A的n个特征根。当特征根i(I=1,2,…,n)求出后，(iE-A)X=是齐次方程，i均会使|iE-A|=0，(iE-A)X=必存在非零解，且有无穷个解向量，(iE-A)X=的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。例1.求矩阵的特征值与特征向量。解：由特征方程解得A有2重特征值1=2=-2，有单特征值3=4对于特征值1=2=-2，解方程组(-2E-A)x=得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3(x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值1=2=-2的全部特征向量为x=k11+k22(k1,k2不全为零)可见，特征值=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。对于特征值3=4，方程组(4E-A)x=得同解方程组为通解为令自由未知量x3=2得基础解系所以A的对于特征值3=4得全部特征向量为x=k33例2.求矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程解得A有单特征值1=1，有2重特征值2=3=0对于1=1，解方程组(E-A)x=得同解方程组为同解为令自由未知量x3=1，得基础解系所以A的对应于特征值1=1的全部特征向量为x=k11(k10)对于特征值2=3=0，解方程组(0E-A)=得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，得基础解系此处，二重根=0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。所以A的对应于特征值2=3=0得全部特征向量为x=k23例3．矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程解得A的特征值为1=1,2=i,3=-i对于特征值1=1，解方程组(E-A)=，由得通解为令自由未知量x1=1，得基础解系1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值1=1得全部特征向量为x=k11对于特征值2=i，解方程组(iE-A)=得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，得基础解系2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值2=1的全部特征向量为x=k22(k20)。对于特征值3=-i，解方程组(-E-A)x=，由得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，，得基础解系3=(0,-i,1)T，所以A的对应于3=-i的全部特征向量为x=k33。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。特征向量只能属于一个特征值。而特征值i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组(iE-A)x=的非0解。其中，方程组(iE-A)x=的基础解系就是属于特征值i的线性无关的特征向量。性质1.n阶方阵A=(aij)的所有特征根为1，2，…,n(包括重根)，则证第二个式子：由伟达定理，12…n=(-1)nn又|E-A|=n+1n-1+…+n-11+n中用=0代入二边，得：|-A|=n，而|A|=(-1)nn=12…n，性质2.若是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。证：可见是A-1的一个特征根。其中0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若i=0,|A|=12…n=0，A奇异，与A可逆矛盾。性质3.若是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则m是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。证：1)Ax=x，二边左乘A，得：A2x=Ax=Ax=x=2x，可见2是A2的特征根；2)若m是Am的一个特征根，Amx=mx，二边左乘A，得：Am+1x=AAmx=Amx=mAx=mx=m+1x，得m+1是Am+1的特征根用归纳法证明了m是Am的一个特征根。性质4.设1，2，…,m是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于i的特征向量(i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。性质4可推广为：设1，2，…,m为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于1的线性无关特征向量，……，xm1,xm2,…,xm,k1是属于m的线性无关特征向量。则向量组x11,x12,…,x1,k1,…,xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。