特征根法求数列的递推公式

特征根法求数列的递推公式一、形如21(,nnnapaqapq是常数）的数列形如112221,,(,nnnamamapaqapq是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq…①若①有二异根,，则可令1212(,nnnacccc是待定常数）若①有二重根，则可令1212()(,nnacnccc是待定常数）再利用1122,,amam可求得12,cc，进而求得na例1已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna例2已知数列{}na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令1212nnacnc，由1122121()121(2)24accacc，得1246cc，1322nnna二、形如1nnnAaBaCaD的数列对于数列1nnnAaBaCaD，*1,(,,,amnNABCD是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDAxB…②若②有二异根,，则可令11nnnnaacaa（其中c是待定常数），代入12,aa的值可求得c值。这样数列nnaa是首项为11aa，公比为c的等比数列，于是这样可求得na若②有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数），代入12,aa的值可求得c值。这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，于是这样可求得na例3已知数列{}na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列{}na的通项na解：其特征方程为221xxx，化简得2220x，解得121,1xx，令111111nnnnaacaa由12,a得245a，可得13c，数列11nnaa是以111113aa为首项，以13为公比的等比数列，1111133nnnaa，3(1)3(1)nnnnna例4已知数列{}na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列{}na的通项na解：其特征方程为2146xxx，即24410xx，解得1212xx，令1111122nncaa由12,a得2314a，求得1c，数列112na是以112152a为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552nnna，135106nnan